Номер 850, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

850. Найдите наибольшую высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Дано треугольник со сторонами $a = 4$ см, $b = 13$ см и $c = 15$ см. Для нахождения высоты и радиусов нам понадобится площадь треугольника. Вычислим ее по формуле Герона.
Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Теперь вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см².

Наибольшая высота
Площадь треугольника можно выразить через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне, по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. Из этой формулы можно выразить высоту: $h_a = \frac{2S}{a}$.
Наибольшая высота в треугольнике всегда проведена к его наименьшей стороне. Наименьшая сторона в данном треугольнике равна 4 см.
Следовательно, наибольшая высота $h_{max}$ равна:
$h_{max} = \frac{2S}{4} = \frac{2 \cdot 24}{4} = \frac{48}{4} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

Радиусы вписанной и описанной окружностей
Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:
$r = \frac{S}{p}$
Подставим ранее вычисленные значения площади и полупериметра:
$r = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

Радиус описанной окружности $R$ находится по формуле:
$R = \frac{abc}{4S}$
Подставим известные значения сторон и вычисленную площадь:
$R = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{13 \cdot 15}{24} = \frac{195}{24} = \frac{65}{8} = 8,125$ см.
Ответ: радиус вписанной окружности равен 1,5 см, радиус описанной окружности равен 8,125 см.