Номер 853, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

853. Основания трапеции равны 16 см и 44 см, а боковые стороны – 17 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $BC = 16$ см, $AD = 44$ см, и боковыми сторонами $AB = 17$ см, $CD = 25$ см.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Так как $BC$ параллельно $AD$ и $BH$, $CK$ — высоты, то $HBCK$ — прямоугольник, и $HK = BC = 16$ см.

Основание $AD$ разбивается на три отрезка: $AH$, $HK$ и $KD$. Сумма длин отрезков $AH$ и $KD$ равна разности оснований:$AH + KD = AD - HK = 44 - 16 = 28$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Пусть $AH = x$. Тогда $KD = 28 - x$.По теореме Пифагора:

В $\triangle ABH$: $h^2 = AB^2 - AH^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$.

В $\triangle CDK$: $h^2 = CD^2 - KD^2 = 25^2 - (28-x)^2 = 625 - (784 - 56x + x^2) = 625 - 784 + 56x - x^2 = -159 + 56x - x^2$.

Так как левые части уравнений равны ($h^2$), приравняем и правые части:$289 - x^2 = -159 + 56x - x^2$

Прибавим $x^2$ к обеим частям:$289 = -159 + 56x$

$56x = 289 + 159$

$56x = 448$

$x = \frac{448}{56} = 8$

Итак, $AH = 8$ см. Тогда $KD = 28 - 8 = 20$ см.

Теперь найдем высоту $h$, подставив значение $x = 8$ в одно из выражений для $h^2$:$h^2 = 289 - x^2 = 289 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{16 + 44}{2} \cdot 15 = \frac{60}{2} \cdot 15 = 30 \cdot 15 = 450$ см$^2$.

Ответ: $450 \text{ см}^2$.