Страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

846. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle ABC = 60^{\circ}$. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и точки $A$ и $C$.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника $AIC$. Обозначим этот радиус как $R$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $AIC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle AIC)}$

По условию задачи нам известна длина стороны $AC = 6\sqrt{3}$ см. Теперь найдем величину угла $\angle AIC$.

Так как $I$ — инцентр, то отрезки $AI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Следовательно:$\angle IAC = \frac{1}{2} \angle BAC$$\angle ICA = \frac{1}{2} \angle BCA$

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $AIC$:$\angle AIC + \angle IAC + \angle ICA = 180^{\circ}$Отсюда, $\angle AIC = 180^{\circ} - (\angle IAC + \angle ICA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Теперь рассмотрим сумму углов в исходном треугольнике $ABC$:$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ}$Нам известно, что $\angle ABC = 60^{\circ}$. Тогда:$\angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Подставим полученное значение в формулу для угла $\angle AIC$:$\angle AIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(120^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Теперь мы можем вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $AIC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle AIC)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sin(120^{\circ})}$

Значение синуса $120^{\circ}$ равно $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в формулу для радиуса:$R = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

847. Две стороны треугольника равны 5 см и 8 см, а угол между ними – $60^\circ$.

Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Пусть даны стороны треугольника $a = 5$ см, $b = 8$ см и угол $\gamma = 60^{\circ}$ между ними. Для того чтобы найти радиус $R$ описанной окружности, воспользуемся следствием из теоремы синусов: $R = \frac{c}{2 \sin \gamma}$, где $c$ — это сторона треугольника, лежащая напротив угла $\gamma$.

1. Найдём длину третьей стороны $c$. Для этого применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$

Подставим известные значения в формулу: $c^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ}$
Поскольку $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, то: $c^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 89 - 40$
$c^2 = 49$
$c = \sqrt{49} = 7$ см.

2. Найдём радиус описанной окружности $R$. Теперь, когда известна сторона $c=7$ см и противолежащий ей угол $\gamma = 60^{\circ}$, мы можем вычислить радиус: $R = \frac{c}{2 \sin \gamma}$

Подставим значения, учитывая, что $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $R = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $R = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ см.

848. Найдите биссектрису треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$, если $\angle BAC = \alpha$, $AC = b$, $AB = c$.

Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Обозначим длину этой биссектрисы как $l_a$.

Из условия задачи нам известны длины двух сторон треугольника, прилежащих к углу $A$, и величина самого угла:

• $AC = b$
• $AB = c$
• $\angle BAC = \alpha$

Так как $AD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle BAC$ на два равных угла:$\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Для нахождения длины биссектрисы $l_a$ можно использовать метод площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые биссектриса $AD$ делит исходный треугольник.

Площадь треугольника $ABC$ выражается через две стороны и угол между ними:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} bc \sin(\alpha)$.

Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ также можно выразить через их стороны и углы:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c \cdot l_a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$.

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b \cdot l_a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь приравняем площадь большого треугольника сумме площадей двух малых:$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

$\frac{1}{2} bc \sin(\alpha) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Умножим обе части уравнения на 2 и вынесем в правой части общие множители $l_a$ и $\sin(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:$bc \sin(\alpha) = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$. Подставим это выражение в наше уравнение:$bc \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Так как в треугольнике угол $\alpha \in (0, \pi)$, то $\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Мы можем сократить на $\sin(\frac{\alpha}{2})$ обе части уравнения:$2bc \cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a$

Отсюда выражаем искомую длину биссектрисы $l_a$:$l_a = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}$

Ответ: $l_a = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}$.

849. Биссектриса угла $\angle BAD$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите площадь треугольника $ABM$, если $AB = 4$ см, $\angle BAD = 60^\circ$.

Поскольку $AM$ является биссектрисой угла $BAD$ параллелограмма $ABCD$, она делит этот угол пополам. Так как по условию $\angle BAD = 60^\circ$, то $\angle BAM = \angle MAD = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Прямая $AM$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle AMB$ и $\angle MAD$ равны, то есть $\angle AMB = \angle MAD = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем два угла равны: $\angle BAM = 30^\circ$ и $\angle AMB = 30^\circ$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $BM = AB$. По условию $AB = 4$ см, следовательно, $BM = 4$ см.

Для вычисления площади треугольника $ABM$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Нам нужны стороны $AB$ и $BM$, которые мы уже знаем, и угол $\angle ABM$ между ними.

Угол $\angle ABM$ совпадает с углом $\angle ABC$ параллелограмма. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Отсюда $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABM$:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin(\angle ABM) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(120^\circ)$.

Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см$^2$.

850. Найдите наибольшую высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Дано треугольник со сторонами $a = 4$ см, $b = 13$ см и $c = 15$ см. Для нахождения высоты и радиусов нам понадобится площадь треугольника. Вычислим ее по формуле Герона.
Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+13+15}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.
Теперь вычислим площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24$ см².

Наибольшая высота
Площадь треугольника можно выразить через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне, по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$. Из этой формулы можно выразить высоту: $h_a = \frac{2S}{a}$.
Наибольшая высота в треугольнике всегда проведена к его наименьшей стороне. Наименьшая сторона в данном треугольнике равна 4 см.
Следовательно, наибольшая высота $h_{max}$ равна:
$h_{max} = \frac{2S}{4} = \frac{2 \cdot 24}{4} = \frac{48}{4} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

Радиусы вписанной и описанной окружностей
Радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле:
$r = \frac{S}{p}$
Подставим ранее вычисленные значения площади и полупериметра:
$r = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$ см.

Радиус описанной окружности $R$ находится по формуле:
$R = \frac{abc}{4S}$
Подставим известные значения сторон и вычисленную площадь:
$R = \frac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 24} = \frac{13 \cdot 15}{24} = \frac{195}{24} = \frac{65}{8} = 8,125$ см.
Ответ: радиус вписанной окружности равен 1,5 см, радиус описанной окружности равен 8,125 см.

851. Радиусы двух окружностей равны 17 см и 39 см, а расстояние между их центрами – 44 см. Найдите длину общей хорды данных окружностей.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. По условию, $r_1 = 17$ см, $r_2 = 39$ см, а расстояние между центрами $O_1O_2 = 44$ см.

Окружности пересекаются в двух точках, пусть это будут точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ является их общей хордой. Линия, соединяющая центры $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и делит её пополам в точке пересечения $H$. Таким образом, $AH = HB$ и $\angle O_1HA = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$, его стороны равны $O_1A = r_1 = 17$ см, $O_2A = r_2 = 39$ см и $O_1O_2 = 44$ см. Отрезок $AH$ является высотой этого треугольника, проведённой к стороне $O_1O_2$. Длина хорды $AB$ равна $2 \cdot AH$.

Введём обозначения: пусть $h = AH$ и $x = O_1H$. Тогда $O_2H = O_1O_2 - O_1H = 44 - x$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle O_1HA$ и $\triangle O_2HA$.

По теореме Пифагора для $\triangle O_1HA$:
$O_1A^2 = AH^2 + O_1H^2$
$17^2 = h^2 + x^2$
Отсюда $h^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$.

По теореме Пифагора для $\triangle O_2HA$:
$O_2A^2 = AH^2 + O_2H^2$
$39^2 = h^2 + (44 - x)^2$
Отсюда $h^2 = 39^2 - (44 - x)^2 = 1521 - (1936 - 88x + x^2) = 1521 - 1936 + 88x - x^2 = -415 + 88x - x^2$.

Теперь приравняем два выражения для $h^2$:
$289 - x^2 = -415 + 88x - x^2$
$289 = -415 + 88x$
$88x = 289 + 415$
$88x = 704$
$x = \frac{704}{88} = 8$ см.

Мы нашли расстояние $O_1H = 8$ см. Теперь найдём $h$ (половину длины хорды), подставив значение $x$ в одно из уравнений для $h^2$:
$h^2 = 289 - x^2 = 289 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Длина общей хорды $AB$ равна $2h$:
$AB = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

852. Вычислите площадь параллелограмма, одна из сторон которого равна 15 см, а диагонали – 11 см и 25 см.

Для вычисления площади параллелограмма, зная одну его сторону и обе диагонали, можно использовать свойство диагоналей и формулу Герона.

Решение:

Пусть у нас есть параллелограмм со стороной $a = 15$ см и диагоналями $d_1 = 11$ см и $d_2 = 25$ см.

Ключевое свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Эти диагонали разделяют параллелограмм на четыре треугольника с равной площадью.

Рассмотрим один из треугольников, сторонами которого являются сторона параллелограмма $a$ и половины его диагоналей. Обозначим стороны этого треугольника как $s_1, s_2, s_3$:

• $s_1 = a = 15$ см
• $s_2 = \frac{d_1}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ см
• $s_3 = \frac{d_2}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ см

Площадь этого треугольника ($S_{\text{тр}}$) можно найти по формуле Герона:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{2} = \frac{15 + 5.5 + 12.5}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$ см.

2. Теперь подставим значения в формулу Герона для вычисления площади треугольника:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{16.5 \cdot (16.5 - 15) \cdot (16.5 - 5.5) \cdot (16.5 - 12.5)}$

$S_{\text{тр}} = \sqrt{16.5 \cdot 1.5 \cdot 11 \cdot 4}$

Для упрощения вычислений, преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$S_{\text{тр}} = \sqrt{\frac{33}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 11 \cdot 4} = \sqrt{\frac{33 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 4}{4}} = \sqrt{33 \cdot 3 \cdot 11}$

$S_{\text{тр}} = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot 3 \cdot 11} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(3 \cdot 11)^2} = 3 \cdot 11 = 33$ см$^2$.

3. Площадь всего параллелограмма ($S$) в четыре раза больше площади этого треугольника:

$S = 4 \cdot S_{\text{тр}} = 4 \cdot 33 = 132$ см$^2$.

Ответ: $132$ см$^2$.

853. Основания трапеции равны 16 см и 44 см, а боковые стороны – 17 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — её высота.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию $BC = 16$ см, $AD = 44$ см, и боковыми сторонами $AB = 17$ см, $CD = 25$ см.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Так как $BC$ параллельно $AD$ и $BH$, $CK$ — высоты, то $HBCK$ — прямоугольник, и $HK = BC = 16$ см.

Основание $AD$ разбивается на три отрезка: $AH$, $HK$ и $KD$. Сумма длин отрезков $AH$ и $KD$ равна разности оснований:$AH + KD = AD - HK = 44 - 16 = 28$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CDK$. Пусть $AH = x$. Тогда $KD = 28 - x$.По теореме Пифагора:

В $\triangle ABH$: $h^2 = AB^2 - AH^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$.

В $\triangle CDK$: $h^2 = CD^2 - KD^2 = 25^2 - (28-x)^2 = 625 - (784 - 56x + x^2) = 625 - 784 + 56x - x^2 = -159 + 56x - x^2$.

Так как левые части уравнений равны ($h^2$), приравняем и правые части:$289 - x^2 = -159 + 56x - x^2$

Прибавим $x^2$ к обеим частям:$289 = -159 + 56x$

$56x = 289 + 159$

$56x = 448$

$x = \frac{448}{56} = 8$

Итак, $AH = 8$ см. Тогда $KD = 28 - 8 = 20$ см.

Теперь найдем высоту $h$, подставив значение $x = 8$ в одно из выражений для $h^2$:$h^2 = 289 - x^2 = 289 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{16 + 44}{2} \cdot 15 = \frac{60}{2} \cdot 15 = 30 \cdot 15 = 450$ см$^2$.

Ответ: $450 \text{ см}^2$.

854. Основания трапеции равны 5 см и 12 см, а диагонали – 9 см и 10 см.

Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана трапеция ABCD, где основаниями являются AD и BC. По условию задачи имеем:
меньшее основание $a = BC = 5$ см;
большее основание $b = AD = 12$ см;
диагональ $d_1 = AC = 9$ см;
диагональ $d_2 = BD = 10$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до ее пересечения с продолжением основания AD в точке E.

Рассмотрим получившийся четырехугольник BCED. В нем:
1. Стороны BC и DE лежат на параллельных прямых (так как BC и AD — основания трапеции).
2. Стороны BD и CE параллельны по построению.
Следовательно, четырехугольник BCED — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны:
$CE = BD = 10$ см.
$DE = BC = 5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник ACE. Его стороны:
$AC = 9$ см (по условию).
$CE = 10$ см (как показано выше).
$AE = AD + DE = 12 + 5 = 17$ см.

Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE. Докажем это. Пусть $h$ — высота трапеции, проведенная к основанию AD. Эта же высота является высотой треугольника ACE, проведенной к стороне AE.
Площадь трапеции: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$.
Площадь треугольника ACE: $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} AE \cdot h = \frac{AD + DE}{2} \cdot h$.
Так как $DE = BC$, то $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$.

Найдем площадь треугольника ACE, зная длины всех его трех сторон (9 см, 10 см, 17 см), по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ — полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ — длины сторон.

Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$S_{\triangle ACE} = \sqrt{18 \cdot (18-9) \cdot (18-10) \cdot (18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см$^2$.

Поскольку площадь трапеции равна площади этого треугольника, то площадь трапеции составляет 36 см$^2$.

Ответ: 36 см$^2$.

855. Найдите площадь правильного $n$-угольника, если радиус вписанной в него окружности равен 6 см, а $n$ равно:

1) 3;

2) 4;

3) 6.

Для нахождения площади $S$ правильного $n$-угольника воспользуемся формулой, связывающей её с радиусом вписанной окружности $r$ и количеством сторон $n$:

$S = n \cdot r^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Эта формула получается из более общей формулы $S = \frac{1}{2} P \cdot r$ (где $P$ — периметр), если выразить сторону многоугольника $a$ через $r$ и $n$: $a = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

По условию задачи, радиус вписанной окружности $r = 6$ см. Рассчитаем площадь для каждого случая.

1) Для правильного треугольника $n=3$.

Подставим значения в формулу:

$S_3 = 3 \cdot 6^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 3 \cdot 36 \cdot \tan(60^\circ)$.

Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, то площадь равна:

$S_3 = 108\sqrt{3}$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см².

2) Для правильного четырёхугольника (квадрата) $n=4$.

Подставим значения в формулу:

$S_4 = 4 \cdot 6^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 4 \cdot 36 \cdot \tan(45^\circ)$.

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то площадь равна:

$S_4 = 144$.

Ответ: $144$ см².

3) Для правильного шестиугольника $n=6$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = 6 \cdot 6^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 6 \cdot 36 \cdot \tan(30^\circ)$.

Поскольку $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то площадь равна:

$S_6 = 216 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 72\sqrt{3}$.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см².

856. В окружность вписан квадрат со стороной 4 см. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала найти радиус окружности, используя данные о вписанном квадрате, а затем использовать этот радиус для нахождения площади вписанного правильного треугольника.

Пусть $a_{кв}$ — сторона вписанного квадрата, а $R$ — радиус окружности. По условию $a_{кв} = 4$ см.

Диагональ вписанного квадрата $d$ является диаметром $D$ описанной окружности. Найдем диагональ квадрата по формуле, связывающей ее со стороной: $d = a_{кв}\sqrt{2}$.

$d = 4\sqrt{2}$ см.

Следовательно, диаметр окружности $D = 4\sqrt{2}$ см. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная радиус окружности, найдем сторону правильного треугольника $a_{тр}$, вписанного в эту же окружность. Сторона правильного вписанного треугольника связана с радиусом описанной окружности $R$ формулой: $a_{тр} = R\sqrt{3}$.

Подставим найденное значение радиуса:

$a_{тр} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Площадь правильного треугольника $S$ со стороной $a_{тр}$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a_{тр}^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны треугольника и вычислим площадь:

$S = \frac{(2\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 6) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{24\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$ см².

Ответ: $6\sqrt{3}$ см².

857. Найдите отношение площадей правильных треугольника и шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и правильный шестиугольник.

Сначала выразим площадь правильного треугольника ($S_3$) через радиус $R$. Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность, связана с радиусом соотношением $a_3 = R\sqrt{3}$. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив выражение для стороны $a_3$, получим площадь вписанного треугольника:

$S_3 = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь выразим площадь правильного шестиугольника ($S_6$) через радиус $R$. Сторона правильного шестиугольника ($a_6$), вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $R$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$. Тогда площадь всего шестиугольника:

$S_6 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, найдем искомое отношение площадей треугольника и шестиугольника:

$\frac{S_3}{S_6} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}$

После сокращения общего множителя $3R^2\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_3}{S_6} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, отношение площади правильного треугольника к площади правильного шестиугольника равно 1:2.

Ответ: 1:2.

858. Середины сторон правильного двенадцатиугольника соединены через одну так, что полученной фигурой является правильный шестиугольник. Найдите сторону данного двенадцатиугольника, если сторона на полученного шестиугольника равна $a$.

Пусть сторона правильного двенадцатиугольника равна $x$, а сторона полученного правильного шестиугольника равна $a$.

Обозначим центр правильного двенадцатиугольника как $O$. Середины сторон двенадцатиугольника лежат на окружности, вписанной в этот двенадцатиугольник. Радиус этой окружности равен апофеме $r$ двенадцатиугольника. Вершины построенного шестиугольника — это середины сторон двенадцатиугольника, взятые через одну. Обозначим эти вершины как $M_1, M_3, M_5, \dots, M_{11}$. Все они лежат на окружности радиуса $r$ с центром в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OM_1M_3$. Стороны $OM_1$ и $OM_3$ являются радиусами вписанной окружности, поэтому $OM_1 = OM_3 = r$. Угол между апофемами, проведенными к соседним сторонам правильного двенадцатиугольника, равен центральному углу, то есть $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Угол $\angle M_1OM_3$ состоит из двух таких углов (между серединами сторон 1 и 2, и между серединами сторон 2 и 3), следовательно, $\angle M_1OM_3 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle OM_1M_3$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, а значит, он равносторонний. Отсюда следует, что длина стороны шестиугольника $M_1M_3$ равна апофеме $r$. То есть, $a = r$.

Теперь найдем связь между стороной двенадцатиугольника $x$ и его апофемой $r$. Рассмотрим треугольник, образованный центром $O$, вершиной двенадцатиугольника $V_2$ и серединой прилегающей к ней стороны $M_2$. Этот треугольник $\triangle OV_2M_2$ является прямоугольным (с прямым углом при $M_2$), где $OM_2 = r$ — катет (апофема), а $V_2M_2 = \frac{x}{2}$ — другой катет (половина стороны). Угол $\angle V_2OM_2$ равен половине центрального угла, то есть $\frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle V_2OM_2) = \frac{V_2M_2}{OM_2}$$\tan(15^\circ) = \frac{x/2}{r}$

Так как мы установили, что $r=a$, получаем:$\tan(15^\circ) = \frac{x}{2a}$Отсюда $x = 2a \cdot \tan(15^\circ)$.

Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса разности:$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$Так как $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$:$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Подставим найденное значение $\tan(15^\circ)$ в формулу для $x$:$x = 2a(2 - \sqrt{3})$

Ответ: $2a(2 - \sqrt{3})$.

859. Длина дуги окружности равна 6$\pi$ см, а её градусная мера – 24$^\circ$. Найдите радиус окружности.

Для решения этой задачи используется формула длины дуги окружности:
$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$
где $L$ — это длина дуги, $R$ — это радиус окружности, а $\alpha$ — это градусная мера дуги.

В условии задачи даны следующие значения:
Длина дуги $L = 6\pi$ см.
Градусная мера дуги $\alpha = 24^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:
$6\pi = \frac{\pi \cdot R \cdot 24^\circ}{180^\circ}$

Теперь необходимо выразить радиус $R$ из этого уравнения. Для начала сократим множитель $\pi$ в обеих частях уравнения:
$6 = \frac{R \cdot 24}{180}$

Далее выражаем $R$:
$R = \frac{6 \cdot 180}{24}$

Произведем вычисления. Можно сократить дробь на 24, разложив 180 на $4 \cdot 45$ и 24 на $6 \cdot 4$. Но проще сократить 6 и 24:
$R = \frac{180}{4}$

Выполним деление:
$R = 45$

Следовательно, радиус окружности равен 45 см.

Ответ: 45 см.

860. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle C = 90^{\circ})$ как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой $AB$, если $\angle A = 42^{\circ}$, $AC = 8$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, построенной на катете $AC$ как на диаметре. По условию, диаметр $d = AC = 8$ см. Радиус окружности $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника. Гипотенуза $AB$ пересекает окружность в точке $A$ и еще в одной точке, которую обозначим $D$. Дуга, которая лежит вне треугольника и отсекается гипотенузой $AB$, является дугой $DC$. Для нахождения ее длины нам необходимо вычислить величину центрального угла $ \angle DOC $, который стягивает эту дугу.

Угол $ \angle DAC $ является вписанным в окружность, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Этот угол опирается на дугу $DC$. По условию задачи, $ \angle A = \angle BAC = \angle DAC = 42^\circ $.

Центральный угол $ \angle DOC $ опирается на ту же дугу $DC$. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, $ \angle DOC = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ $.

Длина дуги окружности $L$ вычисляется по формуле $ L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ} $, где $r$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера центрального угла.

Подставив значения $r = 4$ см и $\alpha = 84^\circ$, получим длину дуги $DC$: $ L_{DC} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 84}{180} = \frac{336\pi}{180} $ см.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 336 и 180 равен 12. $ L_{DC} = \frac{336 \div 12}{180 \div 12}\pi = \frac{28\pi}{15} $ см.

Ответ: $\frac{28\pi}{15}$ см.