Страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

887. На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $BM = \frac{1}{4}BC$, $CK = \frac{2}{3}CD$ (рис. 288). Выразите:

1) векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$;

2) векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ через векторы $\vec{AM} = \vec{m}$ и $\vec{AK} = \vec{n}$.

1) Для того чтобы выразить векторы $\overline{AM}$ и $\overline{AK}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом сложения векторов.

Выразим вектор $\overline{AM}$. По правилу треугольника для векторов имеем: $\overline{AM} = \overline{AB} + \overline{BM}$.

По условию, $\overline{AB} = \vec{a}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны и равны, следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление, равны: $\overline{BC} = \overline{AD} = \vec{b}$.

Точка $M$ лежит на стороне $BC$, и по условию $BM = \frac{1}{4}BC$. Векторы $\overline{BM}$ и $\overline{BC}$ сонаправлены, поэтому $\overline{BM} = \frac{1}{4}\overline{BC} = \frac{1}{4}\vec{b}$.

Подставим найденные выражения в формулу для $\overline{AM}$:
$\overline{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$.

Теперь выразим вектор $\overline{AK}$. По правилу треугольника: $\overline{AK} = \overline{AD} + \overline{DK}$.

По условию, $\overline{AD} = \vec{b}$. В параллелограмме $ABCD$ также имеем $\overline{DC} = \overline{AB} = \vec{a}$.

Точка $K$ лежит на стороне $CD$, и по условию $CK = \frac{2}{3}CD$. Длина отрезка $DK$ равна $CD - CK = CD - \frac{2}{3}CD = \frac{1}{3}CD$. Векторы $\overline{DK}$ и $\overline{DC}$ сонаправлены, поэтому $\overline{DK} = \frac{1}{3}\overline{DC} = \frac{1}{3}\vec{a}$.

Подставим найденные выражения в формулу для $\overline{AK}$:
$\overline{AK} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$ или $\overline{AK} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\overline{AM} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$; $\overline{AK} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

2) Для того чтобы выразить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$, воспользуемся результатами из пункта 1. Мы получили систему из двух векторных уравнений:

$\begin{cases} \vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} \\ \vec{n} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b} \end{cases}$

Решим эту систему относительно $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Из второго уравнения выразим вектор $\vec{b}$:

$\vec{b} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{a}$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4}(\vec{n} - \frac{1}{3}\vec{a})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы выразить $\vec{a}$:

$\vec{m} = \vec{a} + \frac{1}{4}\vec{n} - \frac{1}{12}\vec{a}$

$\vec{m} = (1 - \frac{1}{12})\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{n}$

$\vec{m} = \frac{11}{12}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{n}$

$\frac{11}{12}\vec{a} = \vec{m} - \frac{1}{4}\vec{n}$

$\vec{a} = \frac{12}{11}(\vec{m} - \frac{1}{4}\vec{n})$

$\vec{a} = \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{12}{11} \cdot \frac{1}{4}\vec{n}$

$\vec{a} = \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{3}{11}\vec{n}$

Теперь, когда мы нашли выражение для $\vec{a}$, подставим его в формулу для $\vec{b}$:

$\vec{b} = \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{a} = \vec{n} - \frac{1}{3}(\frac{12}{11}\vec{m} - \frac{3}{11}\vec{n})$

$\vec{b} = \vec{n} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11}\vec{n})$

$\vec{b} = \vec{n} - (\frac{4}{11}\vec{m} - \frac{1}{11}\vec{n})$

$\vec{b} = \vec{n} - \frac{4}{11}\vec{m} + \frac{1}{11}\vec{n}$

$\vec{b} = -\frac{4}{11}\vec{m} + (1 + \frac{1}{11})\vec{n}$

$\vec{b} = -\frac{4}{11}\vec{m} + \frac{12}{11}\vec{n}$

Ответ: $\vec{a} = \frac{12}{11}\vec{m} - \frac{3}{11}\vec{n}$; $\vec{b} = -\frac{4}{11}\vec{m} + \frac{12}{11}\vec{n}$.

888. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD : DC = 1 : 2$, $BE : EC = 2 : 1$. Выразите:

1) векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ и $\overrightarrow{CD}$ через векторы $\overrightarrow{BE} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$;

2) векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AC}$ через векторы $\overrightarrow{AE} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{CD} = \vec{b}$.

Примечание: В условии задачи указано, что точка $D$ лежит на стороне $AB$, но соотношение дано как $AD:DC = 1:2$. Так как точка $C$ не принадлежит прямой $AB$ (иначе это был бы не треугольник), это является опечаткой. Наиболее вероятное и логичное исправление — $AD:DB = 1:2$. Дальнейшее решение основано на этом исправленном условии.

Итак, имеем:
Точка $D$ на стороне $AB$ такая, что $AD : DB = 1 : 2$.
Точка $E$ на стороне $BC$ такая, что $BE : EC = 2 : 1$.

Исходя из данных соотношений, выразим нужные нам векторы.

Из соотношения $BE : EC = 2 : 1$ следует, что длина отрезка $EC$ в два раза меньше длины отрезка $BE$. Векторы $\vec{BE}$ и $\vec{EC}$ сонаправлены, поэтому $\vec{EC} = \frac{1}{2}\vec{BE}$.
Так как $\vec{BE} = \vec{a}$, получаем $\vec{EC} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Вектор $\vec{BC}$ равен сумме векторов $\vec{BE}$ и $\vec{EC}$:
$\vec{BC} = \vec{BE} + \vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{3}{2}\vec{a}$.

Из соотношения $AD : DB = 1 : 2$ следует, что длина отрезка $DB$ в два раза больше длины отрезка $AD$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ сонаправлены, поэтому $\vec{DB} = 2\vec{AD}$.
Так как $\vec{AD} = \vec{b}$, получаем $\vec{DB} = 2\vec{b}$.
Вектор $\vec{AB}$ равен сумме векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$:
$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB} = \vec{b} + 2\vec{b} = 3\vec{b}$.

Теперь, зная $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, можем найти остальные векторы:

Вектор $\vec{AC}$ по правилу сложения векторов (правило треугольника):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = 3\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{a}$.

Вектор $\vec{AE}$ по правилу треугольника:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = 3\vec{b} + \vec{a}$.

Вектор $\vec{CD}$ по правилу треугольника:
$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{AC} + \vec{AD} = -(3\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{a}) + \vec{b} = -3\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{a} + \vec{b} = -2\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{a}$.

Ответ: $\vec{BC} = \frac{3}{2}\vec{a}$; $\vec{AB} = 3\vec{b}$; $\vec{AC} = \frac{3}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$; $\vec{AE} = \vec{a} + 3\vec{b}$; $\vec{CD} = -\frac{3}{2}\vec{a} - 2\vec{b}$.

Для решения этой задачи введем базисные векторы, например, $\vec{BA} = \vec{x}$ и $\vec{BC} = \vec{y}$. Выразим через них данные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а затем решим систему уравнений, чтобы найти выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Из условия $AD : DB = 1 : 2$ следует, что $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{x}$, то $\vec{AD} = -\frac{1}{3}\vec{x}$. Также $\vec{BD} = \frac{2}{3}\vec{BA} = \frac{2}{3}\vec{x}$.
Из условия $BE : EC = 2 : 1$ следует, что $\vec{BE} = \frac{2}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{y}$.

Теперь выразим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через $\vec{x}$ и $\vec{y}$:
$\vec{a} = \vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = -\vec{x} + \frac{2}{3}\vec{y}$.
$\vec{b} = \vec{CD} = \vec{CB} + \vec{BD} = -\vec{y} + \frac{2}{3}\vec{x}$.

Мы получили систему из двух векторных уравнений:
$ \begin{cases} \vec{a} = -\vec{x} + \frac{2}{3}\vec{y} \\ \vec{b} = \frac{2}{3}\vec{x} - \vec{y} \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $\vec{y}$:
$\vec{y} = \frac{2}{3}\vec{x} - \vec{b}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\vec{a} = -\vec{x} + \frac{2}{3}(\frac{2}{3}\vec{x} - \vec{b})$
$\vec{a} = -\vec{x} + \frac{4}{9}\vec{x} - \frac{2}{3}\vec{b}$
$\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = (-\frac{9}{9} + \frac{4}{9})\vec{x}$
$\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{5}{9}\vec{x}$
Отсюда находим $\vec{x}$:
$\vec{x} = -\frac{9}{5}(\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = -\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}$.

Теперь, зная $\vec{x}$, найдем $\vec{y}$:
$\vec{y} = \frac{2}{3}\vec{x} - \vec{b} = \frac{2}{3}(-\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}) - \vec{b} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{b} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$.

Мы нашли выражения для базисных векторов: $\vec{BA} = \vec{x} = -\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{y} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$.
Теперь можем найти искомые векторы:

$\vec{AB} = -\vec{BA} = -(\vec{x}) = -(-\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}) = \frac{9}{5}\vec{a} + \frac{6}{5}\vec{b}$.

$\vec{BC} = \vec{y} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (\frac{9}{5}\vec{a} + \frac{6}{5}\vec{b}) + (-\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}) = (\frac{9}{5} - \frac{6}{5})\vec{a} + (\frac{6}{5} - \frac{9}{5})\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{9}{5}\vec{a} + \frac{6}{5}\vec{b}$; $\vec{BC} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$; $\vec{AC} = \frac{3}{5}\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}$.

889. Коллинеарны ли векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$, если M (4; -1), N (-6; 5), K (7; -2), P (2; 1)?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, необходимо найти их координаты, а затем проверить, пропорциональны ли они.

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{MN}$.Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки. Для вектора $\overrightarrow{MN}$ с началом в точке $M(4; -1)$ и концом в точке $N(-6; 5)$ координаты будут следующими:$x_{MN} = x_N - x_M = -6 - 4 = -10$$y_{MN} = y_N - y_M = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$Таким образом, вектор $\overrightarrow{MN}$ имеет координаты $(-10; 6)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{KP}$.Для вектора $\overrightarrow{KP}$ с началом в точке $K(7; -2)$ и концом в точке $P(2; 1)$ координаты будут следующими:$x_{KP} = x_P - x_K = 2 - 7 = -5$$y_{KP} = y_P - y_K = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$Таким образом, вектор $\overrightarrow{KP}$ имеет координаты $(-5; 3)$.

3. Проверим условие коллинеарности.Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это условие можно записать в виде равенства отношений координат:$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

Подставим координаты векторов $\overrightarrow{MN}(-10; 6)$ и $\overrightarrow{KP}(-5; 3)$ в это равенство:$\frac{-10}{-5} = \frac{6}{3}$Вычислим значения отношений:$2 = 2$

Так как равенство выполняется, это означает, что координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KP}$ коллинеарны. Коэффициент пропорциональности $k=2$, то есть $\overrightarrow{MN} = 2 \cdot \overrightarrow{KP}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.

890. Найдите значение $k$, при котором векторы $\vec{a} (k; -2)$ и $\vec{b} (6; 3)$ коллинеарны.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{a} = \lambda\vec{b}$, или, в координатной форме, $x_1 = \lambda x_2$ и $y_1 = \lambda y_2$.

Условие пропорциональности координат можно записать в виде равенства отношений:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

В нашей задаче даны векторы $\vec{a}(k; -2)$ и $\vec{b}(6; 3)$. Подставим их координаты в условие коллинеарности:

$\frac{k}{6} = \frac{-2}{3}$

Теперь решим это уравнение относительно $k$. Для этого умножим обе части уравнения на 6:

$k = \frac{-2}{3} \cdot 6$

$k = \frac{-12}{3}$

$k = -4$

Проверим: при $k=-4$ вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(-4; -2)$. Отношение координат: $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $\frac{-2}{3}$. Так как отношения равны, векторы коллинеарны.

Ответ: $k = -4$.

891. Даны векторы $\vec{a} (3; -2)$ и $\vec{b} (x; 4)$. При каком значении $x$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$?

Для того чтобы найти значение $x$, при котором выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$, необходимо использовать формулу скалярного произведения векторов, заданных своими координатами.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}\{a_1; a_2\}$ и $\vec{b}\{b_1; b_2\}$ на плоскости вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

В данной задаче нам даны векторы $\vec{a}\{3; -2\}$ и $\vec{b}\{x; 4\}$. Подставим их координаты в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot x + (-2) \cdot 4 = 3x - 8$

По условию задачи, скалярное произведение этих векторов равно 1. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$3x - 8 = 1$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x$:

$3x = 1 + 8$

$3x = 9$

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Таким образом, равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ выполняется при значении $x = 3$.

Ответ: 3

892. Найдите косинусы углов треугольника $ABC$, если $A (-3; -4)$, $B (2; -3)$, $C (3; 5)$. Установите вид треугольника.

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся скалярным произведением векторов. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Координаты вершин треугольника: $A(-3; -4)$, $B(2; -3)$, $C(3; 5)$.

1. Угол A образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
Найдем координаты и длины векторов:
$\vec{AB} = (2 - (-3); -3 - (-4)) = (5; 1)$
$\vec{AC} = (3 - (-3); 5 - (-4)) = (6; 9)$
$|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 6 + 1 \cdot 9 = 30 + 9 = 39$
Вычислим косинус угла A:
$\cos A = \frac{39}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{117}} = \frac{39}{\sqrt{2 \cdot 13} \cdot 3\sqrt{13}} = \frac{39}{3 \cdot 13 \cdot \sqrt{2}} = \frac{39}{39\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Угол B образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.
Найдем координаты и длины векторов:
$\vec{BA} = (-3 - 2; -4 - (-3)) = (-5; -1)$
$\vec{BC} = (3 - 2; 5 - (-3)) = (1; 8)$
$|\vec{BA}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$
Найдем скалярное произведение:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-5) \cdot 1 + (-1) \cdot 8 = -5 - 8 = -13$
Вычислим косинус угла B:
$\cos B = \frac{-13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{65}} = \frac{-13}{\sqrt{2 \cdot 13} \cdot \sqrt{5 \cdot 13}} = \frac{-13}{13\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

3. Угол C образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
Найдем координаты и длины векторов:
$\vec{CA} = (-3 - 3; -4 - 5) = (-6; -9)$
$\vec{CB} = (2 - 3; -3 - 5) = (-1; -8)$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-6)^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$
$|\vec{CB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$
Найдем скалярное произведение:
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-6) \cdot (-1) + (-9) \cdot (-8) = 6 + 72 = 78$
Вычислим косинус угла C:
$\cos C = \frac{78}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{65}} = \frac{78}{3\sqrt{13} \cdot \sqrt{5 \cdot 13}} = \frac{78}{3 \cdot 13 \cdot \sqrt{5}} = \frac{78}{39\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos B = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos C = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Вид треугольника определим по длинам его сторон и знакам косинусов углов.
1. По сторонам:
Длины сторон треугольника: $c = |\vec{AB}| = \sqrt{26}$, $b = |\vec{AC}| = \sqrt{117}$, $a = |\vec{BC}| = \sqrt{65}$.
Так как все стороны имеют разную длину ($\sqrt{26} \neq \sqrt{65} \neq \sqrt{117}$), то треугольник является разносторонним.
2. По углам:
- $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, значит, угол $A$ — острый.
- $\cos B = -\frac{\sqrt{10}}{10} < 0$, значит, угол $B$ — тупой.
- $\cos C = \frac{2\sqrt{5}}{5} > 0$, значит, угол $C$ — острый.
Поскольку в треугольнике есть тупой угол (угол $B$), он является тупоугольным.

Ответ: Треугольник является разносторонним и тупоугольным.

893. Даны векторы $\vec{a} (2; -1)$ и $\vec{b} (1; -2)$. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

По условию даны векторы $\vec{a}(2; -1)$ и $\vec{b}(1; -2)$.

Для того чтобы найти значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, необходимо использовать свойство скалярного произведения векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} + m\vec{b}$.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $m$:
$m\vec{b} = m \cdot (1; -2) = (m \cdot 1; m \cdot (-2)) = (m; -2m)$.

2. Сложим вектор $\vec{a}$ с полученным вектором $m\vec{b}$:
$\vec{a} + m\vec{b} = (2; -1) + (m; -2m) = (2+m; -1-2m)$.

Теперь запишем условие перпендикулярности векторов $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$. Их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$(\vec{a} + m\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$.

Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$. Подставим координаты наших векторов $\vec{a} + m\vec{b} = (2+m; -1-2m)$ и $\vec{b} = (1; -2)$:

$(2+m) \cdot 1 + (-1-2m) \cdot (-2) = 0$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$2 + m + 2 + 4m = 0$
$5m + 4 = 0$
$5m = -4$
$m = -\frac{4}{5} = -0.8$.

Таким образом, при $m = -0.8$ векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Ответ: $m = -0.8$

894. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Для нахождения косинуса угла необходимо вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

Воспользуемся данными из условия задачи: $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$. Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. Также мы знаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1^2 = 1$ и $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = 1^2 = 1$.

1. Вычисление скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{m} \cdot \vec{m} - 3\vec{m} \cdot 2\vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{m} - \vec{n} \cdot 2\vec{n} = 3(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Подставим известные значения $\vec{m} \cdot \vec{m} = 1$, $\vec{n} \cdot \vec{n} = 1$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

2. Вычисление модуля вектора $|\vec{a}|$

Модуль вектора находится через его скалярный квадрат: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$.

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{m} + \vec{n}) \cdot (3\vec{m} + \vec{n}) = 9(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{n})$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 9 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

3. Вычисление модуля вектора $|\vec{b}|$

Аналогично для вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{\vec{b} \cdot \vec{b}}$.

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{m} - 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) = (\vec{m} \cdot \vec{m}) - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = 1^2 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1^2 = 1 - 0 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

4. Нахождение косинуса угла

Подставим найденные величины в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$

895. Даны векторы $\vec{a} (2; -4)$ и $\vec{b} (-1; 1)$. Найдите:

1) $|\vec{a} - \vec{b}|;$

2) $|2\vec{a} + \vec{b}|;$

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(2; -4)$ и $\vec{b}$ с координатами $(-1; 1)$.

1) $|\vec{a} - \vec{b}|$

Чтобы найти модуль разности векторов, сначала найдем координаты результирующего вектора $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Для этого вычтем из координат вектора $\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $\vec{b}$.

$\vec{c} = (a_x - b_x; a_y - b_y) = (2 - (-1); -4 - 1) = (2 + 1; -5) = (3; -5)$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{c}$ по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{c_x^2 + c_y^2}$.

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Ответ: $\sqrt{34}$.

2) $|2\vec{a} + \vec{b}|$

Сначала найдем координаты вектора $2\vec{a}$, умножив каждую координату вектора $\vec{a}$ на 2.

$2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-4)) = (4; -8)$.

Далее найдем координаты результирующего вектора $\vec{d} = 2\vec{a} + \vec{b}$, сложив соответствующие координаты векторов $2\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{d} = (4 + (-1); -8 + 1) = (3; -7)$.

Теперь найдем модуль вектора $\vec{d}$ по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2}$.

$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

Ответ: $\sqrt{58}$.

896. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M (0; -4)$ в точке $A (5; -3)$.

Для составления уравнения прямой нам нужна точка, через которую она проходит, и либо ее угловой коэффициент, либо вектор нормали.

По условию, прямая касается окружности в точке $A(5; -3)$. Это означает, что точка $A$ принадлежит искомой прямой.

Ключевое свойство касательной к окружности заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В данном случае касательная в точке $A$ перпендикулярна радиусу $MA$.

Это означает, что вектор $\vec{MA}$, соединяющий центр окружности $M(0; -4)$ и точку касания $A(5; -3)$, является вектором нормали (перпендикулярным вектором) для искомой прямой.

Найдем координаты вектора $\vec{MA}$:
$\vec{MA} = (x_A - x_M; y_A - y_M) = (5 - 0; -3 - (-4)) = (5; 1)$.

Итак, мы ищем уравнение прямой, которая проходит через точку $A(5; -3)$ и имеет вектор нормали $\vec{n} = (5; 1)$.

Общее уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с вектором нормали $\vec{n} = (a; b)$, имеет вид:
$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$.

Подставим в эту формулу координаты точки $A$ ($x_0=5$, $y_0=-3$) и координаты вектора нормали $\vec{n}$ ($a=5$, $b=1$):
$5(x - 5) + 1(y - (-3)) = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$5x - 25 + y + 3 = 0$
$5x + y - 22 = 0$

Это и есть искомое уравнение касательной.

Ответ: $5x + y - 22 = 0$

897. При параллельном переносе образом точки A $(3; -2)$ является точка B $(5; -3)$. Какая точка является образом точки C $(-3; 4)$ при этом параллельном переносе?

Параллельный перенос задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(x; y)$ — координаты исходной точки, $(x'; y')$ — координаты ее образа, а $a$ и $b$ — величины, на которые происходит сдвиг по осям Ox и Oy соответственно. Вектор переноса имеет координаты $(a; b)$.

По условию, образом точки $A(3; -2)$ является точка $B(5; -3)$. Это означает, что прибавив к координатам точки $A$ соответствующие координаты вектора переноса $(a; b)$, мы получим координаты точки $B$.

Найдем координаты вектора переноса $(a; b)$:

$x_B = x_A + a \implies 5 = 3 + a$

$a = 5 - 3 = 2$

$y_B = y_A + b \implies -3 = -2 + b$

$b = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1$

Таким образом, параллельный перенос осуществляется на вектор $(2; -1)$. Формулы этого переноса: $x' = x + 2$, $y' = y - 1$.

Теперь найдем образ точки $C(-3; 4)$ при этом параллельном переносе. Обозначим искомую точку как $C'(x'; y')$.

Подставим координаты точки $C$ в формулы переноса:

$x' = x_C + a = -3 + 2 = -1$

$y' = y_C + b = 4 + (-1) = 3$

Следовательно, образом точки $C(-3; 4)$ является точка $C'(-1; 3)$.

Ответ: $(-1; 3)$.