Номер 893, страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

893. Даны векторы $\vec{a} (2; -1)$ и $\vec{b} (1; -2)$. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

По условию даны векторы $\vec{a}(2; -1)$ и $\vec{b}(1; -2)$.

Для того чтобы найти значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, необходимо использовать свойство скалярного произведения векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{c} = \vec{a} + m\vec{b}$.

1. Умножим вектор $\vec{b}$ на скаляр $m$:
$m\vec{b} = m \cdot (1; -2) = (m \cdot 1; m \cdot (-2)) = (m; -2m)$.

2. Сложим вектор $\vec{a}$ с полученным вектором $m\vec{b}$:
$\vec{a} + m\vec{b} = (2; -1) + (m; -2m) = (2+m; -1-2m)$.

Теперь запишем условие перпендикулярности векторов $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$. Их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$(\vec{a} + m\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$.

Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$. Подставим координаты наших векторов $\vec{a} + m\vec{b} = (2+m; -1-2m)$ и $\vec{b} = (1; -2)$:

$(2+m) \cdot 1 + (-1-2m) \cdot (-2) = 0$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$2 + m + 2 + 4m = 0$
$5m + 4 = 0$
$5m = -4$
$m = -\frac{4}{5} = -0.8$.

Таким образом, при $m = -0.8$ векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Ответ: $m = -0.8$