Номер 900, страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

900. На рисунке 289 $CB = CD$, $\angle ACB = \angle ACD$. Докажите, что точки B и D симметричны относительно прямой AC.

900. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACB $ и $ \triangle ACD $.
По условию задачи, сторона $ CB = CD $ и угол $ \angle ACB = \angle ACD $.
Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ACB \cong \triangle ACD $.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $ AB = AD $ и $ \angle CAB = \angle CAD $.
Рассмотрим треугольник $ \triangle ABD $. Так как $ AB = AD $, то он является равнобедренным с основанием $ BD $.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
Поскольку $ \angle CAB = \angle CAD $, луч $ AC $ является биссектрисой угла $ \angle BAD $.
Следовательно, прямая $ AC $, содержащая биссектрису, является также высотой и медианой треугольника $ \triangle ABD $.
Как высота, прямая $ AC $ перпендикулярна основанию $ BD $ ($ AC \perp BD $).
Как медиана, прямая $ AC $ делит основание $ BD $ пополам.
Прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину, называется серединным перпендикуляром. Таким образом, прямая $ AC $ является серединным перпендикуляром к отрезку $ BD $.
По определению, точки $ B $ и $ D $ симметричны относительно прямой $ AC $. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

901. Пусть дана точка $ K(x; y) = (4; -2) $.
1. Координаты точки, симметричной точке $ K(x; y) $ относительно оси абсцисс (оси Ox), находятся по формуле $ (x; -y) $. Для точки $ K(4; -2) $ симметричная точка будет иметь координаты $ (4; -(-2)) $, то есть $ (4; 2) $.
2. Координаты точки, симметричной точке $ K(x; y) $ относительно оси ординат (оси Oy), находятся по формуле $ (-x; y) $. Для точки $ K(4; -2) $ симметричная точка будет иметь координаты $ (-4; -2) $.
3. Координаты точки, симметричной точке $ K(x; y) $ относительно начала координат $ O(0; 0) $, находятся по формуле $ (-x; -y) $. Для точки $ K(4; -2) $ симметричная точка будет иметь координаты $ (-4; -(-2)) $, то есть $ (-4; 2) $.
Ответ: Координаты точки, симметричной относительно оси абсцисс: $ (4; 2) $; относительно оси ординат: $ (-4; -2) $; относительно начала координат: $ (-4; 2) $.

902. Даны точки $ A(x; -2) $ и $ B(3; y) $.
По условию, точки $ A $ и $ B $ симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).
Если две точки $ (x_1; y_1) $ и $ (x_2; y_2) $ симметричны относительно оси абсцисс, то их абсциссы равны, а ординаты являются противоположными числами. То есть, выполняются условия: $ x_1 = x_2 $ и $ y_1 = -y_2 $.
Применим эти условия к координатам точек $ A $ и $ B $:
$ x = 3 $
$ -2 = -y $
Из второго уравнения, умножив обе части на -1, получаем $ y = 2 $.
Следовательно, искомые значения $ x = 3 $ и $ y = 2 $.
Ответ: $ x = 3, y = 2 $.