Номер 903, страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

903. Даны луч $OA$ и точка $B$, ему не принадлежащая. Постройте луч, симметричный данному относительно точки $B$.

Для того чтобы построить луч, симметричный данному лучу $OA$ относительно точки $B$, необходимо выполнить построение симметричных точек для двух любых точек, принадлежащих лучу $OA$. Удобнее всего взять начало луча, точку $O$, и любую другую точку на луче, например, точку $A$.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) означает, что для любой точки $P$ её симметричный образ $P'$ находится на прямой, проходящей через $P$ и центр симметрии $B$, на таком же расстоянии от $B$, но с другой стороны. То есть, точка $B$ является серединой отрезка $PP'$.

Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Строим точку $O'$, симметричную началу луча, точке $O$, относительно точки $B$. Для этого проводим прямую через точки $O$ и $B$. С помощью циркуля измеряем расстояние $OB$ и откладываем такой же отрезок $BO'$ на прямой $OB$ за точкой $B$. Точка $O'$ будет являться началом нового луча.

2. Строим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно точки $B$. Для этого проводим прямую через точки $A$ и $B$. Измеряем расстояние $AB$ и откладываем такой же отрезок $BA'$ на прямой $AB$ за точкой $B$.

3. Проводим луч с началом в точке $O'$ через точку $A'$. Этот луч, который мы обозначим как $O'A'$, и будет искомым лучом, симметричным лучу $OA$ относительно точки $B$.

В результате построения получается луч $O'A'$, который параллелен исходному лучу $OA$ (так как четырехугольник $OAA'O'$ является параллелограммом, его диагонали $OO'$ и $AA'$ пересекаются в точке $B$ и делятся ею пополам) и направлен в противоположную сторону.

Ответ: Искомый луч строится по двум точкам. Сначала строится точка $O'$, симметричная началу луча $O$ относительно точки $B$ ($B$ — середина отрезка $OO'$). Затем строится точка $A'$, симметричная любой другой точке $A$ на луче $OA$ относительно точки $B$ ($B$ — середина отрезка $AA'$). Искомый луч $O'A'$ — это луч с началом в точке $O'$ и проходящий через точку $A'$.