Номер 908, страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

908. На какой угол надо повернуть прямоугольник вокруг его центра симметрии, чтобы его образом был этот же прямоугольник?

Центром симметрии любого прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Поворот фигуры вокруг её центра симметрии, при котором фигура совмещается сама с собой, называется вращательной симметрией. Нам нужно найти угол такой симметрии для прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ с центром симметрии в точке $O$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ каждая вершина прямоугольника переходит в симметричную ей относительно центра, то есть в противоположную вершину. Вершина $A$ переходит в вершину $C$, вершина $B$ — в вершину $D$, вершина $C$ — в вершину $A$, и вершина $D$ — в вершину $B$.

В результате такого поворота сторона $AB$ отображается на сторону $CD$, а сторона $BC$ — на сторону $DA$. Таким образом, весь прямоугольник совмещается сам с собой. Следовательно, угол поворота в $180^\circ$ удовлетворяет условию задачи.

Этот угол является наименьшим положительным углом, который подходит для любого прямоугольника. Стоит отметить, что поворот на $360^\circ$ также вернет фигуру в исходное положение, но это справедливо для любой фигуры. В частном случае, если прямоугольник является квадратом, он также совместится сам с собой при поворотах на $90^\circ$ и $270^\circ$. Однако, поскольку в задаче речь идет о прямоугольнике в общем виде (не обязательно квадрате), единственным ненулевым углом поворота до $360^\circ$ является $180^\circ$.

Ответ: на $180^\circ$.