Номер 909, страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

909. Постройте треугольник, гомотетичный данному тупоугольному треугольнику, если центром гомотетии является центр окружности, описанной около треугольника, коэффициент гомотетии $k = -2$.

Для построения треугольника, гомотетичного данному тупоугольному треугольнику $ABC$, если центром гомотетии является центр $O$ описанной около него окружности, а коэффициент гомотетии $k = -2$, нужно выполнить следующую последовательность построений:

1. Найти центр гомотетии O.

   Центр гомотетии совпадает с центром описанной окружности треугольника $ABC$. Чтобы найти эту точку, нужно построить серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника (например, $AB$ и $BC$). Точка их пересечения $O$ и будет искомым центром. Для тупоугольного треугольника эта точка всегда лежит вне самого треугольника.

2. Построить вершины нового треугольника A'B'C'.

   По определению гомотетии, для каждой вершины $A, B, C$ исходного треугольника соответствующая вершина $A', B', C'$ нового треугольника удовлетворяет векторному равенству $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$, где $X$ – одна из вершин $A, B, C$, а $X'$ – соответствующая ей вершина $A', B', C'$. Поскольку $k = -2$, это означает, что:

   • Точка-образ (например, $A'$) лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $O$. Так как $k < 0$, точка $A'$ будет лежать на луче, противоположном лучу $OA$.
   • Расстояние от центра $O$ до точки $A'$ будет в два раза больше расстояния от $O$ до $A$, то есть $|OA'| = |k| \cdot |OA| = 2 \cdot |OA|$.

   Алгоритм построения для каждой вершины:

   • Вершина A': Проведите прямую через точки $A$ и $O$. Отложите на этой прямой от точки $O$ в направлении, противоположном точке $A$, отрезок $OA'$, равный $2 \cdot |OA|$.
   • Вершина B': Проведите прямую через точки $B$ и $O$. Отложите на этой прямой от точки $O$ в направлении, противоположном точке $B$, отрезок $OB'$, равный $2 \cdot |OB|$.
   • Вершина C': Проведите прямую через точки $C$ и $O$. Отложите на этой прямой от точки $O$ в направлении, противоположном точке $C$, отрезок $OC'$, равный $2 \cdot |OC|$.
3. Завершить построение.

   Соедините отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$. Треугольник $A'B'C'$ и есть искомый треугольник. Он будет подобен исходному, но в два раза больше по размеру и "перевернут" относительно центра гомотетии $O$.

Ответ: Для построения искомого треугольника $A'B'C'$ необходимо сначала найти центр $O$ описанной окружности данного тупоугольного треугольника $ABC$ (точка пересечения серединных перпендикуляров). Затем для каждой вершины $A, B, C$ построить соответствующую ей вершину $A', B', C'$ так, чтобы точка $O$ лежала на отрезке $AA'$ и выполнялось равенство $|OA'|=2 \cdot |OA|$ (аналогично для других вершин). Соединив точки $A', B', C'$, получим искомый треугольник.