Номер 914, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

914. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $BPM$, если площадь треугольника $APD$ равна $27 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

1. Углы $\angle ADP$ и $\angle MBP$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$.

2. Углы $\angle APD$ и $\angle MPB$ равны как вертикальные.

Таким образом, треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$ подобны по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон: $$ \frac{S_{BPM}}{S_{APD}} = \left(\frac{BM}{AD}\right)^2 $$

Из условия известно, что $BM : MC = 1 : 2$. Обозначим $BM = x$, тогда $MC = 2x$. Длина стороны квадрата $BC$ равна $BM + MC = x + 2x = 3x$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $AD = BC = 3x$.

Теперь найдем отношение сторон $BM$ и $AD$: $$ \frac{BM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $$

Подставим это значение в формулу для отношения площадей: $$ \frac{S_{BPM}}{S_{APD}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$

Площадь треугольника $APD$ дана по условию: $S_{APD} = 27 \text{ см}^2$. Отсюда можем найти площадь треугольника $BPM$: $$ S_{BPM} = \frac{1}{9} \cdot S_{APD} = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3 \text{ см}^2 $$

Ответ: 3 см².