Номер 918, страница 226 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

918. Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого равны 3 см и $4\sqrt{2}$ см, а острый угол – $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности, площадь поверхности и объём призмы, если её боковое ребро равно 6 см.

Дано:
Призма — прямая.
Основание — параллелограмм.
Стороны основания: $a = 3$ см, $b = 4\sqrt{2}$ см.
Острый угол основания: $\alpha = 45^\circ$.
Боковое ребро (высота) призмы: $h = 6$ см.

Найдите площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.
1. Найдем периметр основания (параллелограмма):
$P_{осн} = 2(a + b) = 2(3 + 4\sqrt{2})$ см.
2. Теперь вычислим площадь боковой поверхности, подставив известные значения:
$S_{бок} = 2(3 + 4\sqrt{2}) \cdot 6 = 12(3 + 4\sqrt{2}) = 36 + 48\sqrt{2}$ см$^2$.
Ответ: $36 + 48\sqrt{2}$ см$^2$.

Найдите площадь поверхности

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
1. Найдем площадь основания (параллелограмма). Формула площади параллелограмма через две стороны и угол между ними: $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.
$S_{осн} = 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{12 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{12 \cdot 2}{2} = 12$ см$^2$.
2. Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = (36 + 48\sqrt{2}) + 2 \cdot 12 = 36 + 48\sqrt{2} + 24 = 60 + 48\sqrt{2}$ см$^2$.
Ответ: $60 + 48\sqrt{2}$ см$^2$.

Найдите объём призмы

Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$.
Мы уже вычислили площадь основания $S_{осн} = 12$ см$^2$, высота призмы $h = 6$ см.
$V = 12 \cdot 6 = 72$ см$^3$.
Ответ: $72$ см$^3$.