Номер 916, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

916. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$ см, $AC = 10$ см. К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, параллельная основанию $AC$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вычислите площадь треугольника $MBK$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 13$ см, он является равнобедренным. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

Для нахождения радиуса $r$ вписанной окружности воспользуемся формулой $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр.Периметр $P_{ABC} = 13 + 13 + 10 = 36$ см, полупериметр $p = \frac{36}{2} = 18$ см.
$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

По условию, касательная $MK$ параллельна основанию $AC$. Это означает, что треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\angle B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные). Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$: $\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2$. Коэффициент подобия равен отношению их высот.

Высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$, является $BH=12$ см. Пусть $BL$ — высота треугольника $MBK$, проведенная из той же вершины. Точка $L$ лежит на $BH$.Прямые $AC$ и $MK$ являются параллельными касательными к вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру этой окружности, то есть $2r$. Это расстояние равно длине отрезка $LH$.
$LH = 2r = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ см.
Высоту $BL$ можно найти как разность высоты $BH$ и отрезка $LH$:
$BL = BH - LH = 12 - \frac{20}{3} = \frac{36 - 20}{3} = \frac{16}{3}$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия треугольников:
$k = \frac{BL}{BH} = \frac{16/3}{12} = \frac{16}{3 \cdot 12} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

Наконец, вычислим площадь треугольника $MBK$:
$S_{MBK} = k^2 \cdot S_{ABC} = \left(\frac{4}{9}\right)^2 \cdot 60 = \frac{16}{81} \cdot 60 = \frac{16 \cdot 20}{27} = \frac{320}{27}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{320}{27}$ см$^2$.