Страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

912. Многоугольник $F_1$ подобен многоугольнику $F_2$ с коэффициентом подобия $k$. Буквами $P_1$, $P_2$, $S_1$, $S_2$ обозначили соответственно их периметры и площади. Заполните пустые ячейки таблицы.

$P_1$ $P_2$ $S_1$ $S_2$ $k$

19 64 16

12 36 7

35 4 100

21 36 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобных многоугольников. Если многоугольник $F_1$ подобен многоугольнику $F_2$ с коэффициентом подобия $k$, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Это выражается следующими формулами:

$ \frac{P_2}{P_1} = k $

$ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $

Заполним пустые ячейки таблицы, решая задачу для каждой строки.

Строка 1

Дано: $P_2 = 19$, $S_1 = 64$, $S_2 = 16$. Необходимо найти $P_1$ и $k$.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения площадей. Используем формулу $ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $. Подставим известные значения: $ k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} $. Поскольку коэффициент подобия $k$ — это отношение длин, он должен быть положительным, поэтому извлекаем квадратный корень: $ k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5 $.

Теперь, зная $k$, найдем периметр $P_1$ из отношения периметров. Используем формулу $ \frac{P_2}{P_1} = k $, откуда выразим $P_1$: $ P_1 = \frac{P_2}{k} $. Подставим значения: $ P_1 = \frac{19}{1/2} = 19 \cdot 2 = 38 $.

Ответ: $P_1 = 38$, $k = 0.5$.

Строка 2

Дано: $P_1 = 12$, $P_2 = 36$, $S_1 = 7$. Необходимо найти $S_2$ и $k$.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения периметров. Используем формулу $ k = \frac{P_2}{P_1} $. Подставим известные значения: $ k = \frac{36}{12} = 3 $.

Теперь, зная $k$, найдем площадь $S_2$ из отношения площадей. Используем формулу $ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $, откуда выразим $S_2$: $ S_2 = S_1 \cdot k^2 $. Подставим значения: $ S_2 = 7 \cdot 3^2 = 7 \cdot 9 = 63 $.

Ответ: $S_2 = 63$, $k = 3$.

Строка 3

Дано: $P_2 = 35$, $S_1 = 4$, $S_2 = 100$. Необходимо найти $P_1$ и $k$.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения площадей: $ k^2 = \frac{S_2}{S_1} = \frac{100}{4} = 25 $. Извлекая положительный квадратный корень, получаем $ k = \sqrt{25} = 5 $.

Теперь найдем периметр $P_1$ из отношения периметров: $ P_1 = \frac{P_2}{k} $. Подставляем значения: $ P_1 = \frac{35}{5} = 7 $.

Ответ: $P_1 = 7$, $k = 5$.

Строка 4

Дано: $P_2 = 21$, $S_1 = 36$, $k = 2$. Необходимо найти $P_1$ и $S_2$.

Найдем периметр $P_1$ из отношения периметров, зная $k$: $ P_1 = \frac{P_2}{k} $. Подставляем значения: $ P_1 = \frac{21}{2} = 10.5 $.

Теперь найдем площадь $S_2$ из отношения площадей: $ S_2 = S_1 \cdot k^2 $. Подставляем значения: $ S_2 = 36 \cdot 2^2 = 36 \cdot 4 = 144 $.

Ответ: $P_1 = 10.5$, $S_2 = 144$.

913. Прямая, параллельная стороне треугольника длиной 6 см, делит его на две фигуры, площади которых относятся как $1 : 3$. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона, к которой проведена параллельная прямая, равна $AC = 6$ см. Проведена прямая $MN$, параллельная стороне $AC$ (с точками $M$ на стороне $AB$ и $N$ на стороне $BC$). Эта прямая отсекает от исходного треугольника малый треугольник $MBN$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению длин их соответственных сторон:

$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$

Прямая $MN$ делит треугольник $ABC$ на две фигуры: треугольник $MBN$ и трапецию $AMNC$. По условию задачи, отношение их площадей равно $1:3$. Это соотношение может быть истолковано двумя способами.

Случай 1: Отношение площади треугольника $MBN$ к площади трапеции $AMNC$ равно $1:3$.

Пусть площадь треугольника $MBN$ равна $S$, тогда площадь трапеции $AMNC$ равна $3S$. Площадь всего треугольника $ABC$ будет равна их сумме: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC} = S + 3S = 4S$.

Найдем отношение площадей малого и большого треугольников: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{S}{4S} = \frac{1}{4}$.

Тогда квадрат отношения искомого отрезка $MN$ к стороне $AC$ равен $\frac{1}{4}$: $\left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Отсюда находим отношение сторон: $\frac{MN}{AC} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Подставив известную длину $AC = 6$ см, находим длину отрезка $MN$: $MN = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Случай 2: Отношение площади треугольника $MBN$ к площади трапеции $AMNC$ равно $3:1$.

Пусть площадь трапеции $AMNC$ равна $S$, тогда площадь треугольника $MBN$ равна $3S$. Площадь всего треугольника $ABC$ будет равна $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC} = 3S + S = 4S$.

Найдем отношение площадей малого и большого треугольников: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{3S}{4S} = \frac{3}{4}$.

Тогда квадрат отношения искомого отрезка $MN$ к стороне $AC$ равен $\frac{3}{4}$: $\left(\frac{MN}{AC}\right)^2 = \frac{3}{4}$.

Отсюда находим отношение сторон: $\frac{MN}{AC} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставив известную длину $AC = 6$ см, находим длину отрезка $MN$: $MN = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3}$ см.

Так как в условии не уточнено, какая из двух фигур (треугольник или трапеция) имеет меньшую площадь, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 3 см или $3\sqrt{3}$ см.

914. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $BPM$, если площадь треугольника $APD$ равна $27 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$.

Так как $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

1. Углы $\angle ADP$ и $\angle MBP$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$.

2. Углы $\angle APD$ и $\angle MPB$ равны как вертикальные.

Таким образом, треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$ подобны по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон: $$ \frac{S_{BPM}}{S_{APD}} = \left(\frac{BM}{AD}\right)^2 $$

Из условия известно, что $BM : MC = 1 : 2$. Обозначим $BM = x$, тогда $MC = 2x$. Длина стороны квадрата $BC$ равна $BM + MC = x + 2x = 3x$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $AD = BC = 3x$.

Теперь найдем отношение сторон $BM$ и $AD$: $$ \frac{BM}{AD} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $$

Подставим это значение в формулу для отношения площадей: $$ \frac{S_{BPM}}{S_{APD}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$

Площадь треугольника $APD$ дана по условию: $S_{APD} = 27 \text{ см}^2$. Отсюда можем найти площадь треугольника $BPM$: $$ S_{BPM} = \frac{1}{9} \cdot S_{APD} = \frac{1}{9} \cdot 27 = 3 \text{ см}^2 $$

Ответ: 3 см².

915. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $AB : BM = 5 : 3$, $AD > BC$, а площадь треугольника $AMD$ равна $32 \text{ см}^2$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция, ее основания параллельны: $BC \parallel AD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$:

1. Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle MBC$ и $\angle MAD$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$, следовательно, $\angle MBC = \angle MAD$.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Найдем коэффициент подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон.

Из условия известно, что $AB : BM = 5 : 3$.
Пусть $BM = 3x$, тогда $AB = 5x$.
Сторона $AM$ треугольника $\triangle AMD$ равна сумме отрезков $AB$ и $BM$:
$AM = AB + BM = 5x + 3x = 8x$.
Соответственной стороной к $AM$ в треугольнике $\triangle BMC$ является сторона $BM$.
Коэффициент подобия $k$ (от большего треугольника к меньшему) равен: $k = \frac{AM}{BM} = \frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{AMD}}{S_{BMC}} = k^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}$.

По условию, площадь треугольника $AMD$ равна $32 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу и найдем площадь треугольника $BMC$: $\frac{32}{S_{BMC}} = \frac{64}{9}$
$S_{BMC} = \frac{32 \cdot 9}{64} = \frac{1 \cdot 9}{2} = 4.5 \text{ см}^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно найти как разность площадей треугольников $AMD$ и $BMC$:
$S_{ABCD} = S_{AMD} - S_{BMC} = 32 - 4.5 = 27.5 \text{ см}^2$.

Ответ: $27.5 \text{ см}^2$.

916. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13$ см, $AC = 10$ см. К окружности, вписанной в этот треугольник, проведена касательная, параллельная основанию $AC$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Вычислите площадь треугольника $MBK$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 13$ см, он является равнобедренным. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь треугольника $ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

Для нахождения радиуса $r$ вписанной окружности воспользуемся формулой $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр.Периметр $P_{ABC} = 13 + 13 + 10 = 36$ см, полупериметр $p = \frac{36}{2} = 18$ см.
$r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

По условию, касательная $MK$ параллельна основанию $AC$. Это означает, что треугольник $MBK$ подобен треугольнику $ABC$ ($\angle B$ — общий, $\angle BMK = \angle BAC$ как соответственные). Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$: $\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = k^2$. Коэффициент подобия равен отношению их высот.

Высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$, является $BH=12$ см. Пусть $BL$ — высота треугольника $MBK$, проведенная из той же вершины. Точка $L$ лежит на $BH$.Прямые $AC$ и $MK$ являются параллельными касательными к вписанной окружности. Расстояние между ними равно диаметру этой окружности, то есть $2r$. Это расстояние равно длине отрезка $LH$.
$LH = 2r = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$ см.
Высоту $BL$ можно найти как разность высоты $BH$ и отрезка $LH$:
$BL = BH - LH = 12 - \frac{20}{3} = \frac{36 - 20}{3} = \frac{16}{3}$ см.

Теперь найдем коэффициент подобия треугольников:
$k = \frac{BL}{BH} = \frac{16/3}{12} = \frac{16}{3 \cdot 12} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

Наконец, вычислим площадь треугольника $MBK$:
$S_{MBK} = k^2 \cdot S_{ABC} = \left(\frac{4}{9}\right)^2 \cdot 60 = \frac{16}{81} \cdot 60 = \frac{16 \cdot 20}{27} = \frac{320}{27}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{320}{27}$ см$^2$.

917. На продолжениях медиан $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_2$, $B_2$ и $C_2$ так, что $A_1A_2 = \frac{1}{2}AA_1$, $B_1B_2 = \frac{1}{2}BB_1$, $C_1C_2 = \frac{1}{2}CC_1$ (рис. 290). Найдите площадь треугольника $A_2B_2C_2$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1.

Рис. 290

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$. По условию задачи $S_{ABC} = 1$. Пусть $M$ - точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$.

Известно свойство медиан: центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что отрезки $AM$ и $MA_1$ соотносятся как $2:1$, то есть $AM = \frac{2}{3}AA_1$ и $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$.

Согласно условию, точка $A_2$ лежит на продолжении медианы $AA_1$ за точкой $A_1$, и длина отрезка $A_1A_2$ равна половине длины медианы $AA_1$: $A_1A_2 = \frac{1}{2}AA_1$. Таким образом, точки $A$, $M$, $A_1$, $A_2$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим векторы, с началом в центроиде $M$. Вектор $\vec{MA}$ направлен от точки $M$ к вершине $A$. Вектор $\vec{MA_2}$ направлен от точки $M$ к точке $A_2$. Так как точка $M$ находится между точками $A$ и $A_2$, эти векторы противоположно направлены.

Найдем длины этих векторов. Длина вектора $\vec{MA}$ равна длине отрезка $AM$: $|\vec{MA}| = AM = \frac{2}{3}AA_1$.

Длина вектора $\vec{MA_2}$ равна длине отрезка $MA_2$, который является суммой отрезков $MA_1$ и $A_1A_2$: $|\vec{MA_2}| = MA_2 = MA_1 + A_1A_2 = \frac{1}{3}AA_1 + \frac{1}{2}AA_1 = (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})AA_1 = \frac{5}{6}AA_1$.

Теперь найдем отношение длин этих векторов: $\frac{|\vec{MA_2}|}{|\vec{MA}|} = \frac{\frac{5}{6}AA_1}{\frac{2}{3}AA_1} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Поскольку векторы $\vec{MA_2}$ и $\vec{MA}$ противоположно направлены, их связывает следующее соотношение: $\vec{MA_2} = -\frac{5}{4}\vec{MA}$.

Проведя аналогичные рассуждения для двух других медиан, $BB_1$ и $CC_1$, мы получим: $\vec{MB_2} = -\frac{5}{4}\vec{MB}$
$\vec{MC_2} = -\frac{5}{4}\vec{MC}$

Эти векторные равенства означают, что треугольник $A_2B_2C_2$ является образом треугольника $ABC$ при гомотетии с центром в точке $M$ (центроиде) и коэффициентом $k = -\frac{5}{4}$.

Отношение площадей двух гомотетичных (подобных) фигур равно квадрату коэффициента гомотетии: $\frac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$.

Так как площадь треугольника $ABC$ равна 1, мы можем найти площадь треугольника $A_2B_2C_2$: $S_{A_2B_2C_2} = \frac{25}{16} \cdot S_{ABC} = \frac{25}{16} \cdot 1 = \frac{25}{16}$.

Ответ: $\frac{25}{16}$.