Страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

832. Две стороны треугольника равны 4 см и 10 см, а синус угла между ними равен $ \frac{4}{5} $. Найдите третью сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. Пусть $a = 4$ см, $b = 10$ см, а $\gamma$ — угол между этими сторонами. Требуется найти сторону $c$.

По условию, синус угла $\gamma$ равен $\sin(\gamma) = \frac{4}{5}$.

Для нахождения третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Сначала найдем значение $\cos(\gamma)$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$. $\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $\cos(\gamma) = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (косинус положительный), так и тупым (косинус отрицательный), необходимо рассмотреть оба случая.

Случай 1: Угол $\gamma$ острый
В этом случае $\cos(\gamma) = \frac{3}{5}$. Подставим значения в теорему косинусов: $c^2 = 4^2 + 10^2 - 2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5}$ $c^2 = 16 + 100 - 80 \cdot \frac{3}{5}$ $c^2 = 116 - 16 \cdot 3$ $c^2 = 116 - 48 = 68$ $c = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ тупой
В этом случае $\cos(\gamma) = -\frac{3}{5}$. Подставим значения в теорему косинусов: $c^2 = 4^2 + 10^2 - 2 \cdot 4 \cdot 10 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)$ $c^2 = 16 + 100 + 80 \cdot \frac{3}{5}$ $c^2 = 116 + 16 \cdot 3$ $c^2 = 116 + 48 = 164$ $c = \sqrt{164} = \sqrt{4 \cdot 41} = 2\sqrt{41}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $2\sqrt{17}$ см или $2\sqrt{41}$ см.

833. В параллелограмме $ABCD$ $AB = 2$ см, $AD = 4$ см, $\angle BAD = 60^\circ$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть стороны параллелограмма заданы векторами $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Из условия задачи нам известны длины этих векторов (модули) и угол между ними:

$|\vec{a}| = AB = 2$ см

$|\vec{b}| = AD = 4$ см

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $\angle BAD = 60^{\circ}$.

Диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ можно выразить через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Косинус угла $\phi$ между прямыми, содержащими диагонали, можно найти по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$

Найдем скалярное произведение векторов диагоналей:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2$

Подставим известные значения:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

Теперь найдем длины (модули) векторов диагоналей. Для этого нам понадобится скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(60^{\circ}) = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$

Найдем квадрат длины диагонали $AC$:

$|\vec{AC}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

$|\vec{AC}|^2 = 2^2 + 2 \cdot 4 + 4^2 = 4 + 8 + 16 = 28$

Следовательно, длина диагонали $AC$ равна:

$|\vec{AC}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см

Найдем квадрат длины диагонали $BD$:

$|\vec{BD}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$

$|\vec{BD}|^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 + 2^2 = 16 - 8 + 4 = 12$

Следовательно, длина диагонали $BD$ равна:

$|\vec{BD}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла между диагоналями:

$\cos(\phi) = \frac{|12|}{(2\sqrt{7}) \cdot (2\sqrt{3})} = \frac{12}{4\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\phi) = \frac{3 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{21} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

834. Установите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами:

1) 4 см, 4 см и 5 см;

2) 5 см, 6 см и 9 см;

3) 5 см, 12 см и 13 см.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по известным длинам его сторон $a$, $b$ и $c$ используется следствие из теоремы косинусов. Пусть $c$ — наибольшая сторона треугольника.

• Если $a^2 + b^2 > c^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник является прямоугольным (согласно обратной теореме Пифагора).
• Если $a^2 + b^2 < c^2$, то треугольник является тупоугольным.

Перед применением этого правила необходимо убедиться, что треугольник с такими сторонами может существовать. Для этого проверяется выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.

1) 4 см, 4 см и 5 см
Обозначим стороны: $a = 4$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см. Наибольшая сторона — $c = 5$ см.
Проверим неравенство треугольника: $4 + 4 > 5$ (т.е. $8 > 5$), что является верным. Следовательно, треугольник существует.
Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$c^2 = 5^2 = 25$.
Поскольку $32 > 25$, то есть $a^2 + b^2 > c^2$, данный треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

2) 5 см, 6 см и 9 см
Обозначим стороны: $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 9$ см. Наибольшая сторона — $c = 9$ см.
Проверим неравенство треугольника: $5 + 6 > 9$ (т.е. $11 > 9$), что является верным. Следовательно, треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.
$c^2 = 9^2 = 81$.
Поскольку $61 < 81$, то есть $a^2 + b^2 < c^2$, данный треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

3) 5 см, 12 см и 13 см
Обозначим стороны: $a = 5$ см, $b = 12$ см, $c = 13$ см. Наибольшая сторона — $c = 13$ см.
Проверим неравенство треугольника: $5 + 12 > 13$ (т.е. $17 > 13$), что является верным. Следовательно, треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$c^2 = 13^2 = 169$.
Поскольку $169 = 169$, то есть $a^2 + b^2 = c^2$, данный треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.

835. Одна из сторон треугольника равна 21 см, а две другие стороны относятся как $3:8$. Найдите неизвестные стороны треугольника, если угол между ними равен $60^\circ$.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, две стороны, пусть это будут $a$ и $b$, относятся как $3:8$, а угол между ними $\gamma$ равен $60^\circ$. Третья сторона $c$, противолежащая этому углу, равна $21$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины неизвестных сторон можно выразить как:

$a = 3x$

$b = 8x$

Для нахождения неизвестных сторон применим теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус одного из его углов.

Формула теоремы косинусов для стороны $c$ выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$21^2 = (3x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (8x) \cdot \cos(60^\circ)$

Теперь решим полученное уравнение. Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$441 = 9x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 24x^2 \cdot \frac{1}{2}$

Упростим выражение:

$441 = 9x^2 + 64x^2 - 24x^2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$441 = (9 + 64 - 24)x^2$

$441 = 49x^2$

Отсюда найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{441}{49}$

$x^2 = 9$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин сторон, он должен быть положительным. Найдем значение $x$:

$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь, зная $x$, мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника:

$a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см

$b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см

Ответ: 9 см, 24 см.

836. Одна из сторон треугольника равна 3 см, а вторая сторона – $\sqrt{7}$ см, причём угол, противолежащий второй стороне, равен $60^{\circ}$. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, пусть $a = 3$ см, $b = \sqrt{7}$ см, а $c$ — неизвестная сторона. Угол $\beta$, противолежащий стороне $b$, равен $60°$.

Для нахождения неизвестной стороны $c$ применим теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус одного из его углов. Формула теоремы косинусов для стороны $b$ выглядит так:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \cos(60°)$

Известно, что значение косинуса $60$ градусов равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение и выполним вычисления:

$7 = 9 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \frac{1}{2}$

$7 = 9 + c^2 - 3c$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $c$:

$c^2 - 3c + 9 - 7 = 0$

$c^2 - 3c + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $c_1 = 1$ и $c_2 = 2$.

Проверим через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения находятся по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$c_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$c_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба полученных значения являются положительными, поэтому могут быть длинами стороны треугольника. Проверим, выполняется ли для каждого из них неравенство треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей).

1. Если $c = 1$ см. Стороны: $3$, $\sqrt{7}$ (≈2,65), $1$.
$3+1 > \sqrt{7}$ (верно)
$3+\sqrt{7} > 1$ (верно)
$1+\sqrt{7} > 3$ (верно)
Этот корень подходит.

2. Если $c = 2$ см. Стороны: $3$, $\sqrt{7}$ (≈2,65), $2$.
$3+2 > \sqrt{7}$ (верно)
$3+\sqrt{7} > 2$ (верно)
$2+\sqrt{7} > 3$ (верно)
Этот корень также подходит.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 1 см или 2 см.

837. Одна из сторон параллелограмма на 4 см больше другой, а его диагонали равны 12 см и 14 см. Найдите периметр параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает длины его сторон и диагоналей. Свойство гласит: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Тогда формула выглядит так:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам дано:

• Диагонали $d_1 = 12$ см и $d_2 = 14$ см.
• Одна сторона на 4 см больше другой. Обозначим меньшую сторону как $x$ см, тогда большая сторона будет $(x + 4)$ см. То есть, $a = x+4$ и $b=x$.

Подставим эти значения в формулу:

$12^2 + 14^2 = 2((x+4)^2 + x^2)$

Теперь решим полученное уравнение:

$144 + 196 = 2(x^2 + 8x + 16 + x^2)$

$340 = 2(2x^2 + 8x + 16)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$170 = 2x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 8x + 16 - 170 = 0$

$2x^2 + 8x - 154 = 0$

Снова разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 4x - 77 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -77, а их сумма равна -4. Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -11$.

$(x-7)(x+11) = 0$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -11$ нам не подходит. Следовательно, меньшая сторона параллелограмма равна $x = 7$ см.

Тогда большая сторона равна $x + 4 = 7 + 4 = 11$ см.

Теперь найдем периметр параллелограмма ($P$). Периметр — это сумма длин всех сторон.

$P = 2(a+b) = 2(11 + 7)$

$P = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

838. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AD = a, BD = d, BD \perp AD$.

Найдите диагональ $AC$.

В параллелограмме $ABCD$ известны длина стороны $AD = a$ и длина диагонали $BD = d$. Также по условию задачи диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$, из чего следует, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle ADB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $\angle ADB = 90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $AD$ и $BD$ являются его катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой. Применим теорему Пифагора, чтобы найти квадрат длины стороны $AB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$ Подставив известные значения, получим: $AB^2 = a^2 + d^2$

Для нахождения длины второй диагонали $AC$ воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ABCD$ это свойство записывается как: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ Это тождество следует из того, что в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$).

Теперь подставим в это равенство известные нам величины: $AD = a$, $BD = d$ и найденное ранее выражение для $AB^2 = a^2 + d^2$. $AC^2 + d^2 = 2((a^2 + d^2) + a^2)$

Упростим полученное выражение и решим его относительно $AC$: $AC^2 + d^2 = 2(2a^2 + d^2)$ $AC^2 + d^2 = 4a^2 + 2d^2$ $AC^2 = 4a^2 + 2d^2 - d^2$ $AC^2 = 4a^2 + d^2$

Чтобы найти длину диагонали $AC$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $AC = \sqrt{4a^2 + d^2}$

Ответ: $\sqrt{4a^2 + d^2}$

839. В трапеции $ABCD$ известно, что $BC \parallel AD$, $AD = 8$ см, $CD = 4\sqrt{3}$ см. Окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$, пересекает прямую $AD$ в точке $K$, $\angle AKB = 60^\circ$. Найдите отрезок $BK$.

Поскольку точки $A$, $B$, $C$ и $K$ по условию лежат на одной окружности, то четырехугольник $ABCK$ является вписанным в эту окружность.

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Так как точка $K$ принадлежит прямой $AD$, то прямая $AK$ совпадает с прямой $AD$, и, следовательно, $BC \parallel AK$.

Таким образом, четырехугольник $ABCK$ является трапецией, у которой основания $BC$ и $AK$ параллельны. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной. Отсюда следует, что $ABCK$ — равнобедренная трапеция.

Одним из свойств равнобедренной трапеции является равенство ее диагоналей. Значит, $BK = AC$. Для решения задачи достаточно найти длину диагонали $AC$.

Рассмотрим вписанные в окружность углы. Углы $\angle AKB$ и $\angle ACB$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. По свойству вписанных углов, они равны. Из условия известно, что $\angle AKB = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle ACB$ также равен $60^{\circ}$.

Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны. Таким образом, $\angle CAD = \angle ACB = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Нам известны длины двух его сторон $AD = 8$ см и $CD = 4\sqrt{3}$ см, а также угол $\angle CAD = 60^{\circ}$, который противолежит стороне $CD$. Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов для треугольника $ACD$ записывается так:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

Подставим известные значения в это уравнение:

$(4\sqrt{3})^2 = AC^2 + 8^2 - 2 \cdot AC \cdot 8 \cdot \cos(60^{\circ})$

Выполним вычисления:

$48 = AC^2 + 64 - 16 \cdot AC \cdot \frac{1}{2}$

$48 = AC^2 + 64 - 8 \cdot AC$

Перенесем все члены уравнения в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $AC$:

$AC^2 - 8 \cdot AC + 64 - 48 = 0$

$AC^2 - 8 \cdot AC + 16 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности:

$(AC - 4)^2 = 0$

Отсюда находим, что $AC = 4$ см.

Так как ранее мы установили, что $BK = AC$, то длина искомого отрезка $BK$ равна 4 см.

Ответ: 4 см.

840. Основания трапеции равны 3 см и 7 см, а боковые стороны – 6 см и 5 см. Найдите косинусы углов трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны. По условию, длины оснований равны 3 см и 7 см, а длины боковых сторон — 6 см и 5 см. Пусть BC = 3, AD = 7, AB = 6, CD = 5. Необходимо найти косинусы углов трапеции: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Проведем из вершин B и C высоты BE и CF на большее основание AD. Так как BC || AD, а BE и CF — высоты, то четырехугольник BCFE является прямоугольником. Следовательно, EF = BC = 3 см. Высоты трапеции равны: BE = CF = h.

Большее основание AD делится высотами на три отрезка: AE, EF и FD. Сумма их длин равна длине AD: $AE + EF + FD = AD$. Подставляя известные значения, получаем: $AE + 3 + FD = 7$, откуда $AE + FD = 4$ см.

Введем переменную. Пусть $AE = x$. Тогда $FD = 4 - x$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образовавшихся после проведения высот: ΔABE (с прямым углом E) и ΔCFD (с прямым углом F). Применим к ним теорему Пифагора, чтобы выразить квадрат высоты $h^2$:

Из ΔABE: $h^2 = AB^2 - AE^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$.

Из ΔCFD: $h^2 = CD^2 - FD^2 = 5^2 - (4 - x)^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 25 - 16 + 8x - x^2 = 9 + 8x - x^2$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $h^2$, чтобы найти $x$:

$36 - x^2 = 9 + 8x - x^2$

$36 = 9 + 8x$

$8x = 27$

$x = \frac{27}{8}$

Итак, мы нашли длину отрезка $AE = \frac{27}{8}$ см. Теперь найдем длину отрезка FD:

$FD = 4 - x = 4 - \frac{27}{8} = \frac{32 - 27}{8} = \frac{5}{8}$ см.

Теперь мы можем найти косинусы углов при большем основании, ∠A и ∠D. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

$cos(∠A) = \frac{AE}{AB} = \frac{27/8}{6} = \frac{27}{8 \cdot 6} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.

$cos(∠D) = \frac{FD}{CD} = \frac{5/8}{5} = \frac{5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AB или CD). Поэтому:

$∠B = 180° - ∠A$, следовательно, $cos(∠B) = cos(180° - ∠A) = -cos(∠A) = -\frac{9}{16}$.

$∠C = 180° - ∠D$, следовательно, $cos(∠C) = cos(180° - ∠D) = -cos(∠D) = -\frac{1}{8}$.

Ответ: косинусы углов трапеции равны $\frac{9}{16}$, $-\frac{9}{16}$, $\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{8}$.

841. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $D$, $BD = 1 \text{ см}$, $AD = 5 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите отрезок $CD$.

1. Определение длин сторон треугольника на основе свойств вписанной окружности.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, длины этих отрезков равны.

• Из вершины A: $AD = AF = 5$ см.
• Из вершины B: $BD = BE = 1$ см.
• Из вершины C: $CE = CF$. Обозначим эту длину как $x$.

Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника $ABC$ через $x$:

• $c = AB = AD + BD = 5 + 1 = 6$ см.
• $a = BC = BE + CE = 1 + x$ см.
• $b = AC = AF + CF = 5 + x$ см.

2. Нахождение неизвестной переменной $x$ с помощью теоремы косинусов.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$. Теорема косинусов для стороны $AC$ (противолежащей углу $\angle ABC$) гласит:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

Подставим в эту формулу известные нам выражения и значения: $AB = 6$, $BC = 1 + x$, $AC = 5 + x$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -0.5 = -\frac{1}{2}$.

$(5 + x)^2 = 6^2 + (1 + x)^2 - 2 \cdot 6 \cdot (1 + x) \cdot (-\frac{1}{2})$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$25 + 10x + x^2 = 36 + (1 + 2x + x^2) + 6(1 + x)$

$25 + 10x + x^2 = 36 + 1 + 2x + x^2 + 6 + 6x$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$25 + 10x + x^2 = 43 + 8x + x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей и решим полученное линейное уравнение:

$25 + 10x = 43 + 8x$

$10x - 8x = 43 - 25$

$2x = 18$

$x = 9$

Теперь, зная $x$, мы можем найти длину стороны $BC$: $BC = 1 + x = 1 + 9 = 10$ см.

3. Вычисление длины отрезка CD.

Чтобы найти длину отрезка $CD$, рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($BD=1$ см и $BC=10$ см) и угол между ними ($\angle DBC = \angle ABC = 120^\circ$).

Снова воспользуемся теоремой косинусов, на этот раз для нахождения стороны $CD$:

$CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos(\angle DBC)$

Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = 1^2 + 10^2 - 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$

$CD^2 = 1 + 100 - 20 \cdot (-\frac{1}{2})$

$CD^2 = 101 + 10$

$CD^2 = 111$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем длину отрезка $CD$:

$CD = \sqrt{111}$ см.

Ответ: $CD = \sqrt{111}$ см.

842. Стороны треугольника равны 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Пусть стороны треугольника равны $a = 11$ см, $b = 12$ см и $c = 13$ см. Наибольшей стороной является сторона $c = 13$ см. Требуется найти длину медианы, проведенной к этой стороне. Обозначим эту медиану как $m_c$.

Для вычисления длины медианы треугольника, проведенной к стороне $c$, воспользуемся формулой длины медианы (следствие из теоремы Аполлония):

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Подставим в формулу значения длин сторон: $a = 11$, $b = 12$, $c = 13$.

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 11^2 + 2 \cdot 12^2 - 13^2}$

Сначала вычислим квадраты сторон:

$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 121 + 2 \cdot 144 - 169}$

Выполним действия под корнем:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{242 + 288 - 169}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{530 - 169}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{361}$

Так как $\sqrt{361} = 19$, получаем:

$m_c = \frac{1}{2} \cdot 19 = 9,5$

Таким образом, длина медианы, проведенной к большей стороне, равна 9,5 см.

Ответ: 9,5 см.

843. Найдите биссектрису треугольника, которая делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 4 см и образует с этой стороной угол, равный $60^\circ$.

Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 3$ см и $DC = 4$ см. Обозначим длину искомой биссектрисы $AD$ как $l_a$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} $$Пусть $AB = 3k$ и $AC = 4k$ для некоторого положительного коэффициента $k$.

По условию, биссектриса образует со стороной $BC$ угол, равный $60^\circ$. Это означает, что один из смежных углов, $\angle ADB$ или $\angle ADC$, равен $60^\circ$, а другой, соответственно, $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим два возможных случая, чтобы определить, какой из них осуществим.

Случай 1: $\angle ADB = 60^\circ$
В этом случае смежный с ним угол $\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.Применим теорему косинусов к треугольникам $ABD$ и $ACD$.
Для треугольника $ABD$:$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB) $$$$ (3k)^2 = l_a^2 + 3^2 - 2 \cdot l_a \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) $$$$ 9k^2 = l_a^2 + 9 - 6 l_a \cdot \frac{1}{2} \implies 9k^2 = l_a^2 - 3l_a + 9 $$Для треугольника $ACD$:$$ AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC) $$$$ (4k)^2 = l_a^2 + 4^2 - 2 \cdot l_a \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ) $$$$ 16k^2 = l_a^2 + 16 - 8 l_a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \implies 16k^2 = l_a^2 + 4l_a + 16 $$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Выразим $k^2$ из обоих и приравняем полученные выражения:$$ k^2 = \frac{l_a^2 - 3l_a + 9}{9} = \frac{l_a^2 + 4l_a + 16}{16} $$$$ 16(l_a^2 - 3l_a + 9) = 9(l_a^2 + 4l_a + 16) $$$$ 16l_a^2 - 48l_a + 144 = 9l_a^2 + 36l_a + 144 $$$$ 7l_a^2 - 84l_a = 0 $$$$ 7l_a(l_a - 12) = 0 $$Поскольку длина биссектрисы $l_a$ должна быть положительной величиной, единственное подходящее решение — $l_a = 12$.

Случай 2: $\angle ADC = 60^\circ$
В этом случае $\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.Аналогично применим теорему косинусов.
Для треугольника $ABD$:$$ (3k)^2 = l_a^2 + 3^2 - 2 \cdot l_a \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = l_a^2 + 9 + 3l_a $$Для треугольника $ACD$:$$ (4k)^2 = l_a^2 + 4^2 - 2 \cdot l_a \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) \implies 16k^2 = l_a^2 + 16 - 4l_a $$
Приравнивая выражения для $k^2$:$$ \frac{l_a^2 + 3l_a + 9}{9} = \frac{l_a^2 - 4l_a + 16}{16} $$$$ 16(l_a^2 + 3l_a + 9) = 9(l_a^2 - 4l_a + 16) $$$$ 16l_a^2 + 48l_a + 144 = 9l_a^2 - 36l_a + 144 $$$$ 7l_a^2 + 84l_a = 0 $$$$ 7l_a(l_a + 12) = 0 $$Это уравнение имеет решения $l_a = 0$ и $l_a = -12$. Ни одно из них не может быть длиной биссектрисы в треугольнике, так как длина должна быть строго положительной. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственно возможным решением является результат, полученный в первом случае.
Ответ: 12 см.

844 Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, $BD = a$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 75^\circ$. Найдите отрезок AD.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 75^\circ$, найдем угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

По условию, отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что он делит угол $\angle ABC$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны:

• сторона $BD = a$;
• угол, противолежащий стороне $BD$, $\angle A = 45^\circ$;
• угол $\angle ABD = 30^\circ$.

Мы хотим найти длину стороны $AD$, которая лежит напротив угла $\angle ABD$.

Для нахождения стороны $AD$ применим теорему синусов к треугольнику $ABD$. Теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{a}{\sin(45^\circ)}$

Выразим отсюда $AD$:

$AD = a \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Используем известные значения синусов:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу для $AD$ и произведем вычисления:

$AD = a \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$AD = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $AD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

845. Найдите отношение сторон равнобедренного треугольника, один из углов которого равен $120^\circ$.

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим его боковые (равные) стороны как $a$, а основание как $b$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.Рассмотрим два возможных случая расположения угла в $120^{\circ}$.

1. Если угол при основании равен $120^{\circ}$, то второй угол при основании также равен $120^{\circ}$. Их сумма уже составляет $120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$, что больше $180^{\circ}$. Такой треугольник не может существовать.

2. Следовательно, угол в $120^{\circ}$ — это угол при вершине, то есть угол между равными сторонами $a$.Тогда углы при основании равны и их величина составляет:$$(180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$$Таким образом, углы треугольника равны $30^{\circ}$, $30^{\circ}$ и $120^{\circ}$.

Для нахождения отношения сторон воспользуемся теоремой косинусов. Для стороны $b$, лежащей напротив угла $120^{\circ}$, теорема косинусов записывается так:$$b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^{\circ})$$$$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(120^{\circ})$$Значение косинуса $120^{\circ}$ равно:$$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -1/2$$Подставим это значение в формулу:$$b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-1/2)$$$$b^2 = 2a^2 + a^2$$$$b^2 = 3a^2$$Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем (поскольку длина стороны — положительная величина):$$b = a\sqrt{3}$$

Таким образом, стороны треугольника равны $a$, $a$ и $a\sqrt{3}$. Их отношение равно:$$a : a : a\sqrt{3}$$Разделив все части отношения на $a$, получим:$$1 : 1 : \sqrt{3}$$Это отношение боковой стороны к боковой стороне и к основанию.

Ответ: $1 : 1 : \sqrt{3}$.