Номер 835, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

835. Одна из сторон треугольника равна 21 см, а две другие стороны относятся как $3:8$. Найдите неизвестные стороны треугольника, если угол между ними равен $60^\circ$.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, две стороны, пусть это будут $a$ и $b$, относятся как $3:8$, а угол между ними $\gamma$ равен $60^\circ$. Третья сторона $c$, противолежащая этому углу, равна $21$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины неизвестных сторон можно выразить как:

$a = 3x$

$b = 8x$

Для нахождения неизвестных сторон применим теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус одного из его углов.

Формула теоремы косинусов для стороны $c$ выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$

Подставим в эту формулу известные нам значения:

$21^2 = (3x)^2 + (8x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (8x) \cdot \cos(60^\circ)$

Теперь решим полученное уравнение. Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

$441 = 9x^2 + 64x^2 - 2 \cdot 24x^2 \cdot \frac{1}{2}$

Упростим выражение:

$441 = 9x^2 + 64x^2 - 24x^2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$441 = (9 + 64 - 24)x^2$

$441 = 49x^2$

Отсюда найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{441}{49}$

$x^2 = 9$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин сторон, он должен быть положительным. Найдем значение $x$:

$x = \sqrt{9} = 3$

Теперь, зная $x$, мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника:

$a = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см

$b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см

Ответ: 9 см, 24 см.