Номер 834, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

834. Установите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами:

1) 4 см, 4 см и 5 см;

2) 5 см, 6 см и 9 см;

3) 5 см, 12 см и 13 см.

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) по известным длинам его сторон $a$, $b$ и $c$ используется следствие из теоремы косинусов. Пусть $c$ — наибольшая сторона треугольника.

• Если $a^2 + b^2 > c^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник является прямоугольным (согласно обратной теореме Пифагора).
• Если $a^2 + b^2 < c^2$, то треугольник является тупоугольным.

Перед применением этого правила необходимо убедиться, что треугольник с такими сторонами может существовать. Для этого проверяется выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны.

1) 4 см, 4 см и 5 см
Обозначим стороны: $a = 4$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см. Наибольшая сторона — $c = 5$ см.
Проверим неравенство треугольника: $4 + 4 > 5$ (т.е. $8 > 5$), что является верным. Следовательно, треугольник существует.
Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$c^2 = 5^2 = 25$.
Поскольку $32 > 25$, то есть $a^2 + b^2 > c^2$, данный треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

2) 5 см, 6 см и 9 см
Обозначим стороны: $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 9$ см. Наибольшая сторона — $c = 9$ см.
Проверим неравенство треугольника: $5 + 6 > 9$ (т.е. $11 > 9$), что является верным. Следовательно, треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.
$c^2 = 9^2 = 81$.
Поскольку $61 < 81$, то есть $a^2 + b^2 < c^2$, данный треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

3) 5 см, 12 см и 13 см
Обозначим стороны: $a = 5$ см, $b = 12$ см, $c = 13$ см. Наибольшая сторона — $c = 13$ см.
Проверим неравенство треугольника: $5 + 12 > 13$ (т.е. $17 > 13$), что является верным. Следовательно, треугольник существует.
Сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$c^2 = 13^2 = 169$.
Поскольку $169 = 169$, то есть $a^2 + b^2 = c^2$, данный треугольник является прямоугольным.
Ответ: прямоугольный.