Номер 841, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

841. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AB$ в точке $D$, $BD = 1 \text{ см}$, $AD = 5 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите отрезок $CD$.

1. Определение длин сторон треугольника на основе свойств вписанной окружности.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается сторон $BC$ и $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к вписанной окружности, длины этих отрезков равны.

• Из вершины A: $AD = AF = 5$ см.
• Из вершины B: $BD = BE = 1$ см.
• Из вершины C: $CE = CF$. Обозначим эту длину как $x$.

Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника $ABC$ через $x$:

• $c = AB = AD + BD = 5 + 1 = 6$ см.
• $a = BC = BE + CE = 1 + x$ см.
• $b = AC = AF + CF = 5 + x$ см.

2. Нахождение неизвестной переменной $x$ с помощью теоремы косинусов.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$. Теорема косинусов для стороны $AC$ (противолежащей углу $\angle ABC$) гласит:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

Подставим в эту формулу известные нам выражения и значения: $AB = 6$, $BC = 1 + x$, $AC = 5 + x$ и $\angle ABC = 120^\circ$. Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -0.5 = -\frac{1}{2}$.

$(5 + x)^2 = 6^2 + (1 + x)^2 - 2 \cdot 6 \cdot (1 + x) \cdot (-\frac{1}{2})$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$25 + 10x + x^2 = 36 + (1 + 2x + x^2) + 6(1 + x)$

$25 + 10x + x^2 = 36 + 1 + 2x + x^2 + 6 + 6x$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$25 + 10x + x^2 = 43 + 8x + x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей и решим полученное линейное уравнение:

$25 + 10x = 43 + 8x$

$10x - 8x = 43 - 25$

$2x = 18$

$x = 9$

Теперь, зная $x$, мы можем найти длину стороны $BC$: $BC = 1 + x = 1 + 9 = 10$ см.

3. Вычисление длины отрезка CD.

Чтобы найти длину отрезка $CD$, рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($BD=1$ см и $BC=10$ см) и угол между ними ($\angle DBC = \angle ABC = 120^\circ$).

Снова воспользуемся теоремой косинусов, на этот раз для нахождения стороны $CD$:

$CD^2 = BD^2 + BC^2 - 2 \cdot BD \cdot BC \cdot \cos(\angle DBC)$

Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = 1^2 + 10^2 - 2 \cdot 1 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$

$CD^2 = 1 + 100 - 20 \cdot (-\frac{1}{2})$

$CD^2 = 101 + 10$

$CD^2 = 111$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем длину отрезка $CD$:

$CD = \sqrt{111}$ см.

Ответ: $CD = \sqrt{111}$ см.