Номер 846, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

846. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle ABC = 60^{\circ}$. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и точки $A$ и $C$.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника $AIC$. Обозначим этот радиус как $R$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов для треугольника $AIC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle AIC)}$

По условию задачи нам известна длина стороны $AC = 6\sqrt{3}$ см. Теперь найдем величину угла $\angle AIC$.

Так как $I$ — инцентр, то отрезки $AI$ и $CI$ являются биссектрисами углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Следовательно:$\angle IAC = \frac{1}{2} \angle BAC$$\angle ICA = \frac{1}{2} \angle BCA$

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $AIC$:$\angle AIC + \angle IAC + \angle ICA = 180^{\circ}$Отсюда, $\angle AIC = 180^{\circ} - (\angle IAC + \angle ICA) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle BCA)$.

Теперь рассмотрим сумму углов в исходном треугольнике $ABC$:$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ}$Нам известно, что $\angle ABC = 60^{\circ}$. Тогда:$\angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Подставим полученное значение в формулу для угла $\angle AIC$:$\angle AIC = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(120^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Теперь мы можем вычислить радиус $R$ описанной окружности треугольника $AIC$:$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle AIC)} = \frac{6\sqrt{3}}{2 \sin(120^{\circ})}$

Значение синуса $120^{\circ}$ равно $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в формулу для радиуса:$R = \frac{6\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

Ответ: 6 см.