Номер 843, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

843. Найдите биссектрису треугольника, которая делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 4 см и образует с этой стороной угол, равный $60^\circ$.

Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD = 3$ см и $DC = 4$ см. Обозначим длину искомой биссектрисы $AD$ как $l_a$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} $$Пусть $AB = 3k$ и $AC = 4k$ для некоторого положительного коэффициента $k$.

По условию, биссектриса образует со стороной $BC$ угол, равный $60^\circ$. Это означает, что один из смежных углов, $\angle ADB$ или $\angle ADC$, равен $60^\circ$, а другой, соответственно, $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим два возможных случая, чтобы определить, какой из них осуществим.

Случай 1: $\angle ADB = 60^\circ$
В этом случае смежный с ним угол $\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.Применим теорему косинусов к треугольникам $ABD$ и $ACD$.
Для треугольника $ABD$:$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB) $$$$ (3k)^2 = l_a^2 + 3^2 - 2 \cdot l_a \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) $$$$ 9k^2 = l_a^2 + 9 - 6 l_a \cdot \frac{1}{2} \implies 9k^2 = l_a^2 - 3l_a + 9 $$Для треугольника $ACD$:$$ AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\angle ADC) $$$$ (4k)^2 = l_a^2 + 4^2 - 2 \cdot l_a \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ) $$$$ 16k^2 = l_a^2 + 16 - 8 l_a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \implies 16k^2 = l_a^2 + 4l_a + 16 $$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Выразим $k^2$ из обоих и приравняем полученные выражения:$$ k^2 = \frac{l_a^2 - 3l_a + 9}{9} = \frac{l_a^2 + 4l_a + 16}{16} $$$$ 16(l_a^2 - 3l_a + 9) = 9(l_a^2 + 4l_a + 16) $$$$ 16l_a^2 - 48l_a + 144 = 9l_a^2 + 36l_a + 144 $$$$ 7l_a^2 - 84l_a = 0 $$$$ 7l_a(l_a - 12) = 0 $$Поскольку длина биссектрисы $l_a$ должна быть положительной величиной, единственное подходящее решение — $l_a = 12$.

Случай 2: $\angle ADC = 60^\circ$
В этом случае $\angle ADB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.Аналогично применим теорему косинусов.
Для треугольника $ABD$:$$ (3k)^2 = l_a^2 + 3^2 - 2 \cdot l_a \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) \implies 9k^2 = l_a^2 + 9 + 3l_a $$Для треугольника $ACD$:$$ (4k)^2 = l_a^2 + 4^2 - 2 \cdot l_a \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) \implies 16k^2 = l_a^2 + 16 - 4l_a $$
Приравнивая выражения для $k^2$:$$ \frac{l_a^2 + 3l_a + 9}{9} = \frac{l_a^2 - 4l_a + 16}{16} $$$$ 16(l_a^2 + 3l_a + 9) = 9(l_a^2 - 4l_a + 16) $$$$ 16l_a^2 + 48l_a + 144 = 9l_a^2 - 36l_a + 144 $$$$ 7l_a^2 + 84l_a = 0 $$$$ 7l_a(l_a + 12) = 0 $$Это уравнение имеет решения $l_a = 0$ и $l_a = -12$. Ни одно из них не может быть длиной биссектрисы в треугольнике, так как длина должна быть строго положительной. Следовательно, этот случай невозможен.

Единственно возможным решением является результат, полученный в первом случае.
Ответ: 12 см.