Номер 840, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

840. Основания трапеции равны 3 см и 7 см, а боковые стороны – 6 см и 5 см. Найдите косинусы углов трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны. По условию, длины оснований равны 3 см и 7 см, а длины боковых сторон — 6 см и 5 см. Пусть BC = 3, AD = 7, AB = 6, CD = 5. Необходимо найти косинусы углов трапеции: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.

Проведем из вершин B и C высоты BE и CF на большее основание AD. Так как BC || AD, а BE и CF — высоты, то четырехугольник BCFE является прямоугольником. Следовательно, EF = BC = 3 см. Высоты трапеции равны: BE = CF = h.

Большее основание AD делится высотами на три отрезка: AE, EF и FD. Сумма их длин равна длине AD: $AE + EF + FD = AD$. Подставляя известные значения, получаем: $AE + 3 + FD = 7$, откуда $AE + FD = 4$ см.

Введем переменную. Пусть $AE = x$. Тогда $FD = 4 - x$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, образовавшихся после проведения высот: ΔABE (с прямым углом E) и ΔCFD (с прямым углом F). Применим к ним теорему Пифагора, чтобы выразить квадрат высоты $h^2$:

Из ΔABE: $h^2 = AB^2 - AE^2 = 6^2 - x^2 = 36 - x^2$.

Из ΔCFD: $h^2 = CD^2 - FD^2 = 5^2 - (4 - x)^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 25 - 16 + 8x - x^2 = 9 + 8x - x^2$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $h^2$, чтобы найти $x$:

$36 - x^2 = 9 + 8x - x^2$

$36 = 9 + 8x$

$8x = 27$

$x = \frac{27}{8}$

Итак, мы нашли длину отрезка $AE = \frac{27}{8}$ см. Теперь найдем длину отрезка FD:

$FD = 4 - x = 4 - \frac{27}{8} = \frac{32 - 27}{8} = \frac{5}{8}$ см.

Теперь мы можем найти косинусы углов при большем основании, ∠A и ∠D. Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

$cos(∠A) = \frac{AE}{AB} = \frac{27/8}{6} = \frac{27}{8 \cdot 6} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.

$cos(∠D) = \frac{FD}{CD} = \frac{5/8}{5} = \frac{5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AB или CD). Поэтому:

$∠B = 180° - ∠A$, следовательно, $cos(∠B) = cos(180° - ∠A) = -cos(∠A) = -\frac{9}{16}$.

$∠C = 180° - ∠D$, следовательно, $cos(∠C) = cos(180° - ∠D) = -cos(∠D) = -\frac{1}{8}$.

Ответ: косинусы углов трапеции равны $\frac{9}{16}$, $-\frac{9}{16}$, $\frac{1}{8}$, $-\frac{1}{8}$.