Номер 838, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

838. В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AD = a, BD = d, BD \perp AD$.

Найдите диагональ $AC$.

В параллелограмме $ABCD$ известны длина стороны $AD = a$ и длина диагонали $BD = d$. Также по условию задачи диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$, из чего следует, что угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle ADB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $\angle ADB = 90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны $AD$ и $BD$ являются его катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой. Применим теорему Пифагора, чтобы найти квадрат длины стороны $AB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$ Подставив известные значения, получим: $AB^2 = a^2 + d^2$

Для нахождения длины второй диагонали $AC$ воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ABCD$ это свойство записывается как: $AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)$ Это тождество следует из того, что в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$).

Теперь подставим в это равенство известные нам величины: $AD = a$, $BD = d$ и найденное ранее выражение для $AB^2 = a^2 + d^2$. $AC^2 + d^2 = 2((a^2 + d^2) + a^2)$

Упростим полученное выражение и решим его относительно $AC$: $AC^2 + d^2 = 2(2a^2 + d^2)$ $AC^2 + d^2 = 4a^2 + 2d^2$ $AC^2 = 4a^2 + 2d^2 - d^2$ $AC^2 = 4a^2 + d^2$

Чтобы найти длину диагонали $AC$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $AC = \sqrt{4a^2 + d^2}$

Ответ: $\sqrt{4a^2 + d^2}$