Номер 831, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

831. Составьте уравнение окружности, центр которой принадлежит оси абсцисс, радиус равен 5, и которая проходит через точку $M (1; 4)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

Из условия задачи известно, что центр окружности принадлежит оси абсцисс. Это означает, что ордината центра равна нулю, то есть $y_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(x_0; 0)$. Уравнение окружности принимает вид:

$(x - x_0)^2 + y^2 = R^2$

Также по условию, радиус окружности $R$ равен 5. Следовательно, $R^2 = 5^2 = 25$. Подставим это значение в уравнение:

$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$

Нам известно, что окружность проходит через точку $M$ с координатами $(1; 4)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = 1$ и $y = 4$ в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную абсциссу центра $x_0$:

$(1 - x_0)^2 + 4^2 = 25$

Решим это уравнение относительно $x_0$:

$(1 - x_0)^2 + 16 = 25$

$(1 - x_0)^2 = 25 - 16$

$(1 - x_0)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

1) $1 - x_0 = 3$
$x_0 = 1 - 3$
$x_0 = -2$

2) $1 - x_0 = -3$
$x_0 = 1 - (-3)$
$x_0 = 1 + 3$
$x_0 = 4$

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

В первом случае центр окружности находится в точке $(-2; 0)$, и ее уравнение:

$(x - (-2))^2 + y^2 = 25$
$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

Во втором случае центр окружности находится в точке $(4; 0)$, и ее уравнение:

$(x - 4)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ или $(x - 4)^2 + y^2 = 25$.