Номер 825, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

825. Жидкость из полностью заполненного сосуда конической формы, высота которого равна $24 \text{ см}$, а радиус основания – $6 \text{ см}$, перелили в сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого равен $8 \text{ см}$. Определите высоту уровня жидкости в сосуде цилиндрической формы.

Для решения задачи воспользуемся тем, что объем жидкости при переливании из одного сосуда в другой не изменяется. Таким образом, объем жидкости, который был в коническом сосуде, равен объему жидкости в цилиндрическом сосуде.

1. Сначала найдем объем жидкости, который равен объему полностью заполненного конического сосуда. Формула для объема конуса:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R_{конуса}^2 h_{конуса}$

По условию, высота конуса $h_{конуса} = 24$ см, а радиус его основания $R_{конуса} = 6$ см.

Подставим значения в формулу:$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \cdot (6)^2 \cdot 24 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 24 = 12\pi \cdot 24 = 288\pi$ см³.

2. Теперь рассмотрим цилиндрический сосуд. Объем жидкости в нем равен объему конуса, то есть $V_{жидкости} = 288\pi$ см³. Формула для объема цилиндра (или части, заполненной жидкостью):$V_{цилиндра} = \pi R_{цилиндра}^2 h_{цилиндра}$

По условию, радиус основания цилиндра $R_{цилиндра} = 8$ см. Нам нужно найти высоту уровня жидкости $h_{цилиндра}$.

Приравняем объем жидкости к формуле объема для цилиндра:$288\pi = \pi \cdot (8)^2 \cdot h_{цилиндра}$$288\pi = \pi \cdot 64 \cdot h_{цилиндра}$

Для нахождения $h_{цилиндра}$ разделим обе части уравнения на $64\pi$:$h_{цилиндра} = \frac{288\pi}{64\pi} = \frac{288}{64}$

Выполним деление:$h_{цилиндра} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.