Номер 830, страница 210 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

830. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а его площадь – 210 $см^2$. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 17$ см и $b = 28$ см, а площадь $S = 210$ см². Требуется найти третью сторону $c$.

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними. Пусть $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Тогда формула площади: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

Подставим известные значения в формулу и найдем $\sin \gamma$: $210 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 28 \cdot \sin \gamma$ $210 = 17 \cdot 14 \cdot \sin \gamma$ $210 = 238 \cdot \sin \gamma$ $\sin \gamma = \frac{210}{238} = \frac{15 \cdot 14}{17 \cdot 14} = \frac{15}{17}$

Зная синус угла, можно найти его косинус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$: $\cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma$ $\cos^2 \gamma = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$ $\cos \gamma = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$

Поскольку косинус может быть как положительным (для острого угла), так и отрицательным (для тупого угла), возможны два решения. Найдем третью сторону $c$ для каждого случая, используя теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Сначала вычислим общую часть формулы: $c^2 = 17^2 + 28^2 - 2 \cdot 17 \cdot 28 \cdot \cos \gamma$ $c^2 = 289 + 784 - 952 \cos \gamma$ $c^2 = 1073 - 952 \cos \gamma$

Случай 1: Угол $\gamma$ — острый ($\cos \gamma = \frac{8}{17}$) $c^2 = 1073 - 952 \cdot \frac{8}{17}$ $c^2 = 1073 - (952:17) \cdot 8$ $c^2 = 1073 - 56 \cdot 8$ $c^2 = 1073 - 448$ $c^2 = 625$ $c = \sqrt{625} = 25$ см.

Случай 2: Угол $\gamma$ — тупой ($\cos \gamma = -\frac{8}{17}$) $c^2 = 1073 - 952 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right)$ $c^2 = 1073 + 952 \cdot \frac{8}{17}$ $c^2 = 1073 + 56 \cdot 8$ $c^2 = 1073 + 448$ $c^2 = 1521$ $c = \sqrt{1521} = 39$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для длины третьей стороны.

Ответ: 25 см или 39 см.