Номер 836, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

836. Одна из сторон треугольника равна 3 см, а вторая сторона – $\sqrt{7}$ см, причём угол, противолежащий второй стороне, равен $60^{\circ}$. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, пусть $a = 3$ см, $b = \sqrt{7}$ см, а $c$ — неизвестная сторона. Угол $\beta$, противолежащий стороне $b$, равен $60°$.

Для нахождения неизвестной стороны $c$ применим теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника и косинус одного из его углов. Формула теоремы косинусов для стороны $b$ выглядит так:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \cos(60°)$

Известно, что значение косинуса $60$ градусов равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение и выполним вычисления:

$7 = 9 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \frac{1}{2}$

$7 = 9 + c^2 - 3c$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $c$:

$c^2 - 3c + 9 - 7 = 0$

$c^2 - 3c + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $c_1 = 1$ и $c_2 = 2$.

Проверим через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения находятся по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$c_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$c_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Оба полученных значения являются положительными, поэтому могут быть длинами стороны треугольника. Проверим, выполняется ли для каждого из них неравенство треугольника (сумма двух любых сторон должна быть больше третьей).

1. Если $c = 1$ см. Стороны: $3$, $\sqrt{7}$ (≈2,65), $1$.
$3+1 > \sqrt{7}$ (верно)
$3+\sqrt{7} > 1$ (верно)
$1+\sqrt{7} > 3$ (верно)
Этот корень подходит.

2. Если $c = 2$ см. Стороны: $3$, $\sqrt{7}$ (≈2,65), $2$.
$3+2 > \sqrt{7}$ (верно)
$3+\sqrt{7} > 2$ (верно)
$2+\sqrt{7} > 3$ (верно)
Этот корень также подходит.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 1 см или 2 см.