Номер 837, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

837. Одна из сторон параллелограмма на 4 см больше другой, а его диагонали равны 12 см и 14 см. Найдите периметр параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает длины его сторон и диагоналей. Свойство гласит: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали равны $d_1$ и $d_2$. Тогда формула выглядит так:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам дано:

• Диагонали $d_1 = 12$ см и $d_2 = 14$ см.
• Одна сторона на 4 см больше другой. Обозначим меньшую сторону как $x$ см, тогда большая сторона будет $(x + 4)$ см. То есть, $a = x+4$ и $b=x$.

Подставим эти значения в формулу:

$12^2 + 14^2 = 2((x+4)^2 + x^2)$

Теперь решим полученное уравнение:

$144 + 196 = 2(x^2 + 8x + 16 + x^2)$

$340 = 2(2x^2 + 8x + 16)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$170 = 2x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 8x + 16 - 170 = 0$

$2x^2 + 8x - 154 = 0$

Снова разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 4x - 77 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -77, а их сумма равна -4. Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -11$.

$(x-7)(x+11) = 0$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, корень $x_2 = -11$ нам не подходит. Следовательно, меньшая сторона параллелограмма равна $x = 7$ см.

Тогда большая сторона равна $x + 4 = 7 + 4 = 11$ см.

Теперь найдем периметр параллелограмма ($P$). Периметр — это сумма длин всех сторон.

$P = 2(a+b) = 2(11 + 7)$

$P = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.