Номер 844, страница 219 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

844 Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, $BD = a$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 75^\circ$. Найдите отрезок AD.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $\angle A = 45^\circ$ и $\angle C = 75^\circ$, найдем угол $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

По условию, отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что он делит угол $\angle ABC$ на два равных угла:

$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны:

• сторона $BD = a$;
• угол, противолежащий стороне $BD$, $\angle A = 45^\circ$;
• угол $\angle ABD = 30^\circ$.

Мы хотим найти длину стороны $AD$, которая лежит напротив угла $\angle ABD$.

Для нахождения стороны $AD$ применим теорему синусов к треугольнику $ABD$. Теорема синусов утверждает, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{AD}{\sin(30^\circ)} = \frac{a}{\sin(45^\circ)}$

Выразим отсюда $AD$:

$AD = a \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Используем известные значения синусов:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в формулу для $AD$ и произведем вычисления:

$AD = a \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$AD = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $AD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.