Номер 848, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

848. Найдите биссектрису треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$, если $\angle BAC = \alpha$, $AC = b$, $AB = c$.

Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Обозначим длину этой биссектрисы как $l_a$.

Из условия задачи нам известны длины двух сторон треугольника, прилежащих к углу $A$, и величина самого угла:

• $AC = b$
• $AB = c$
• $\angle BAC = \alpha$

Так как $AD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle BAC$ на два равных угла:$\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Для нахождения длины биссектрисы $l_a$ можно использовать метод площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые биссектриса $AD$ делит исходный треугольник.

Площадь треугольника $ABC$ выражается через две стороны и угол между ними:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} bc \sin(\alpha)$.

Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ также можно выразить через их стороны и углы:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c \cdot l_a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$.

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b \cdot l_a \cdot \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь приравняем площадь большого треугольника сумме площадей двух малых:$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$

$\frac{1}{2} bc \sin(\alpha) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{\alpha}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Умножим обе части уравнения на 2 и вынесем в правой части общие множители $l_a$ и $\sin(\frac{\alpha}{2})$ за скобки:$bc \sin(\alpha) = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$. Подставим это выражение в наше уравнение:$bc \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a \sin(\frac{\alpha}{2})$

Так как в треугольнике угол $\alpha \in (0, \pi)$, то $\sin(\frac{\alpha}{2}) \neq 0$. Мы можем сократить на $\sin(\frac{\alpha}{2})$ обе части уравнения:$2bc \cos(\frac{\alpha}{2}) = (b+c) l_a$

Отсюда выражаем искомую длину биссектрисы $l_a$:$l_a = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}$

Ответ: $l_a = \frac{2bc \cos(\frac{\alpha}{2})}{b+c}$.