Номер 855, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

855. Найдите площадь правильного $n$-угольника, если радиус вписанной в него окружности равен 6 см, а $n$ равно:

1) 3;

2) 4;

3) 6.

Для нахождения площади $S$ правильного $n$-угольника воспользуемся формулой, связывающей её с радиусом вписанной окружности $r$ и количеством сторон $n$:

$S = n \cdot r^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Эта формула получается из более общей формулы $S = \frac{1}{2} P \cdot r$ (где $P$ — периметр), если выразить сторону многоугольника $a$ через $r$ и $n$: $a = 2r \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

По условию задачи, радиус вписанной окружности $r = 6$ см. Рассчитаем площадь для каждого случая.

1) Для правильного треугольника $n=3$.

Подставим значения в формулу:

$S_3 = 3 \cdot 6^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 3 \cdot 36 \cdot \tan(60^\circ)$.

Поскольку $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, то площадь равна:

$S_3 = 108\sqrt{3}$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см².

2) Для правильного четырёхугольника (квадрата) $n=4$.

Подставим значения в формулу:

$S_4 = 4 \cdot 6^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 4 \cdot 36 \cdot \tan(45^\circ)$.

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, то площадь равна:

$S_4 = 144$.

Ответ: $144$ см².

3) Для правильного шестиугольника $n=6$.

Подставим значения в формулу:

$S_6 = 6 \cdot 6^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 6 \cdot 36 \cdot \tan(30^\circ)$.

Поскольку $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то площадь равна:

$S_6 = 216 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 72\sqrt{3}$.

Ответ: $72\sqrt{3}$ см².