Номер 858, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

858. Середины сторон правильного двенадцатиугольника соединены через одну так, что полученной фигурой является правильный шестиугольник. Найдите сторону данного двенадцатиугольника, если сторона на полученного шестиугольника равна $a$.

Пусть сторона правильного двенадцатиугольника равна $x$, а сторона полученного правильного шестиугольника равна $a$.

Обозначим центр правильного двенадцатиугольника как $O$. Середины сторон двенадцатиугольника лежат на окружности, вписанной в этот двенадцатиугольник. Радиус этой окружности равен апофеме $r$ двенадцатиугольника. Вершины построенного шестиугольника — это середины сторон двенадцатиугольника, взятые через одну. Обозначим эти вершины как $M_1, M_3, M_5, \dots, M_{11}$. Все они лежат на окружности радиуса $r$ с центром в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OM_1M_3$. Стороны $OM_1$ и $OM_3$ являются радиусами вписанной окружности, поэтому $OM_1 = OM_3 = r$. Угол между апофемами, проведенными к соседним сторонам правильного двенадцатиугольника, равен центральному углу, то есть $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Угол $\angle M_1OM_3$ состоит из двух таких углов (между серединами сторон 1 и 2, и между серединами сторон 2 и 3), следовательно, $\angle M_1OM_3 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle OM_1M_3$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, а значит, он равносторонний. Отсюда следует, что длина стороны шестиугольника $M_1M_3$ равна апофеме $r$. То есть, $a = r$.

Теперь найдем связь между стороной двенадцатиугольника $x$ и его апофемой $r$. Рассмотрим треугольник, образованный центром $O$, вершиной двенадцатиугольника $V_2$ и серединой прилегающей к ней стороны $M_2$. Этот треугольник $\triangle OV_2M_2$ является прямоугольным (с прямым углом при $M_2$), где $OM_2 = r$ — катет (апофема), а $V_2M_2 = \frac{x}{2}$ — другой катет (половина стороны). Угол $\angle V_2OM_2$ равен половине центрального угла, то есть $\frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(\angle V_2OM_2) = \frac{V_2M_2}{OM_2}$$\tan(15^\circ) = \frac{x/2}{r}$

Так как мы установили, что $r=a$, получаем:$\tan(15^\circ) = \frac{x}{2a}$Отсюда $x = 2a \cdot \tan(15^\circ)$.

Вычислим значение $\tan(15^\circ)$, используя формулу тангенса разности:$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$Так как $\tan(45^\circ) = 1$ и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$:$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Подставим найденное значение $\tan(15^\circ)$ в формулу для $x$:$x = 2a(2 - \sqrt{3})$

Ответ: $2a(2 - \sqrt{3})$.