Номер 860, страница 220 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

860. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ $(\angle C = 90^{\circ})$ как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой $AB$, если $\angle A = 42^{\circ}$, $AC = 8$ см.

Пусть $O$ — центр окружности, построенной на катете $AC$ как на диаметре. По условию, диаметр $d = AC = 8$ см. Радиус окружности $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ прямоугольного треугольника. Гипотенуза $AB$ пересекает окружность в точке $A$ и еще в одной точке, которую обозначим $D$. Дуга, которая лежит вне треугольника и отсекается гипотенузой $AB$, является дугой $DC$. Для нахождения ее длины нам необходимо вычислить величину центрального угла $ \angle DOC $, который стягивает эту дугу.

Угол $ \angle DAC $ является вписанным в окружность, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Этот угол опирается на дугу $DC$. По условию задачи, $ \angle A = \angle BAC = \angle DAC = 42^\circ $.

Центральный угол $ \angle DOC $ опирается на ту же дугу $DC$. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, $ \angle DOC = 2 \cdot \angle DAC = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ $.

Длина дуги окружности $L$ вычисляется по формуле $ L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ} $, где $r$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера центрального угла.

Подставив значения $r = 4$ см и $\alpha = 84^\circ$, получим длину дуги $DC$: $ L_{DC} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 84}{180} = \frac{336\pi}{180} $ см.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 336 и 180 равен 12. $ L_{DC} = \frac{336 \div 12}{180 \div 12}\pi = \frac{28\pi}{15} $ см.

Ответ: $\frac{28\pi}{15}$ см.