Номер 866, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

866. К окружности, радиус которой равен $R$, проведены две касательные, угол между которыми равен $60^\circ$. Найдите площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей из дуг, концами которых являются точки касания.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус. Пусть касательные, проведённые из точки $A$, касаются окружности в точках $B$ и $C$. Фигура, площадь которой требуется найти, ограничена отрезками касательных $AB$, $AC$ и меньшей дугой $BC$.

Искомая площадь представляет собой разность площади четырёхугольника $ABOC$ и площади кругового сектора $BOC$, ограниченного радиусами $OB$, $OC$ и дугой $BC$.

$S_{фигуры} = S_{ABOC} - S_{сектора BOC}$

1. Сначала найдём площадь четырёхугольника $ABOC$.
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$, а значит, $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$.
Сумма углов в четырёхугольнике $ABOC$ равна $360^\circ$. Угол между касательными по условию равен $\angle BAC = 60^\circ$. Тогда центральный угол $\angle BOC$ можно найти так:

$\angle BOC = 360^\circ - \angle OBA - \angle OCA - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Четырёхугольник $ABOC$ состоит из двух равных прямоугольных треугольников $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$. Рассмотрим $\triangle OBA$. Отрезок $OA$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle OBA$ катет $OB$ равен радиусу $R$. Найдём длину второго катета $AB$:

$\text{tg}(\angle OAB) = \frac{OB}{AB} \implies AB = \frac{OB}{\text{tg}(30^\circ)} = \frac{R}{1/\sqrt{3}} = R\sqrt{3}$.

Площадь треугольника $\triangle OBA$:

$S_{\triangle OBA} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot R = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$.

Площадь всего четырёхугольника $ABOC$ в два раза больше:

$S_{ABOC} = 2 \cdot S_{\triangle OBA} = 2 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{2} = R^2\sqrt{3}$.

2. Теперь найдём площадь кругового сектора $BOC$.
Центральный угол сектора, как мы нашли ранее, $\angle BOC = 120^\circ$. Площадь сектора вычисляется по формуле:

$S_{сектора BOC} = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot \angle BOC = \frac{\pi R^2}{360^\circ} \cdot 120^\circ = \frac{\pi R^2}{3}$.

3. Наконец, вычислим площадь искомой фигуры:

$S_{фигуры} = S_{ABOC} - S_{сектора BOC} = R^2\sqrt{3} - \frac{\pi R^2}{3} = R^2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3})$.

Ответ: $R^2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3})$.