Номер 867, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

867. Вершинами треугольника являются точки $A (-4; 1)$, $B (-2; 4)$ и $C (0; 1)$.

Докажите, что треугольник $ABC$ – равнобедренный, и найдите его площадь.

Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо вычислить длины его сторон и показать, что две из них равны. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Найдем длину стороны $AB$ для точек $A(-4; 1)$ и $B(-2; 4)$:
$|AB| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Найдем длину стороны $BC$ для точек $B(-2; 4)$ и $C(0; 1)$:
$|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Найдем длину стороны $AC$ для точек $A(-4; 1)$ и $C(0; 1)$:
$|AC| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$.

Сравнив длины сторон, видим, что $|AB| = |BC| = \sqrt{13}$. Так как две стороны треугольника равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

найдите его площадь

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основанием является сторона $AC$, ее длина равна 4. Заметим, что у точек $A(-4; 1)$ и $C(0; 1)$ ординаты (координаты y) равны, следовательно, основание $AC$ лежит на горизонтальной прямой $y=1$.

Высота $h$, проведенная из вершины $B(-2; 4)$ к основанию $AC$, будет равна модулю разности ординат точки $B$ и прямой, на которой лежит основание $AC$:
$h = |y_B - y_{AC}| = |4 - 1| = 3$.

Теперь вычислим площадь треугольника:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$.

Ответ: треугольник является равнобедренным, его площадь равна 6.