Номер 865, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

865. Найдите длину окружности, вписанной в сегмент, длина дуги которого равна $m$, а градусная мера равна $120^\circ$.

Пусть $R$ — радиус окружности, из которой взят сегмент, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот сегмент. Длина дуги сегмента равна $m$, а её градусная мера составляет $\alpha = 120^\circ$.

Сначала найдем радиус $R$ исходной окружности. Длина дуги окружности вычисляется по формуле $l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$. Подставим известные данные: $m = \frac{\pi R \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{2\pi R}{3}$.

Из этого соотношения выразим радиус $R$: $R = \frac{3m}{2\pi}$.

Теперь найдем радиус $r$ вписанной окружности. Для этого определим высоту сегмента $h$. Пусть $O$ — центр исходной окружности, $AB$ — хорда, ограничивающая сегмент, а $M$ — середина дуги сегмента. Высота сегмента $h$ — это отрезок $DM$, где $D$ — середина хорды $AB$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA=OB=R$), а центральный угол $\angle AOB = 120^\circ$.

$OD$ является высотой и биссектрисой в треугольнике $AOB$, поэтому $\angle AOD = \frac{1}{2} \angle AOB = 60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $AOD$ находим: $OD = OA \cdot \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Высота сегмента $h$ равна: $h = DM = OM - OD = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Окружность, вписанная в сегмент, по соображениям симметрии касается хорды $AB$ в точке $D$ и дуги в точке $M$. Следовательно, высота сегмента $DM$ является диаметром вписанной окружности: $2r = h = \frac{R}{2}$, откуда $r = \frac{R}{4}$.

Искомая длина вписанной окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставим в нее найденные соотношения: $C = 2\pi \cdot \frac{R}{4} = \frac{\pi R}{2}$.

Наконец, подставим выражение для $R$: $C = \frac{\pi}{2} \cdot \left(\frac{3m}{2\pi}\right) = \frac{3m}{4}$.

Ответ: $\frac{3m}{4}$.