Номер 870, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

870. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-12; 6)$, $B (0; 11)$, $C (5; -1)$, $D (-7; -6)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $ABCD$ является квадратом, необходимо проверить, что все его стороны равны между собой и его диагонали также равны между собой.

Даны координаты вершин: $A(-12; 6)$, $B(0; 11)$, $C(5; -1)$, $D(-7; -6)$.

Воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника.

Длина стороны $AB = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (11 - 6)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Длина стороны $BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (-1 - 11)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Длина стороны $CD = \sqrt{(-7 - 5)^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Длина стороны $DA = \sqrt{(-12 - (-7))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Так как $AB = BC = CD = DA = 13$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что $ABCD$ — ромб.

2. Вычислим длины диагоналей четырёхугольника.

Длина диагонали $AC = \sqrt{(5 - (-12))^2 + (-1 - 6)^2} = \sqrt{17^2 + (-7)^2} = \sqrt{289 + 49} = \sqrt{338}$.

Длина диагонали $BD = \sqrt{(-7 - 0)^2 + (-6 - 11)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-17)^2} = \sqrt{49 + 289} = \sqrt{338}$.

Так как $AC = BD$, диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку $ABCD$ является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то по свойству квадрата он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник $ABCD$ является квадратом, так как все его стороны равны 13, а его диагонали равны $\sqrt{338}$.