Номер 868, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

868. Найдите координаты точки пересечения серединного перпендикуляра отрезка $AB$ с осью абсцисс, если $A (5; -3)$, $B (4; 6)$.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Искомая точка лежит на оси абсцисс, поэтому её ордината равна 0. Обозначим эту точку как $P(x; 0)$.

Так как точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, расстояние от $P$ до $A$ равно расстоянию от $P$ до $B$, то есть $PA = PB$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $PA^2 = PB^2$.

Координаты данных точек: $A(5; -3)$ и $B(4; 6)$.

Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

Вычислим квадрат расстояния $PA^2$:

$PA^2 = (x - 5)^2 + (0 - (-3))^2 = (x - 5)^2 + 3^2 = (x - 5)^2 + 9$.

Вычислим квадрат расстояния $PB^2$:

$PB^2 = (x - 4)^2 + (0 - 6)^2 = (x - 4)^2 + (-6)^2 = (x - 4)^2 + 36$.

Теперь приравняем выражения для $PA^2$ и $PB^2$:

$(x - 5)^2 + 9 = (x - 4)^2 + 36$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 10x + 25) + 9 = (x^2 - 8x + 16) + 36$.

Упростим обе части уравнения:

$x^2 - 10x + 34 = x^2 - 8x + 52$.

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-10x + 34 = -8x + 52$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$34 - 52 = -8x + 10x$.

$-18 = 2x$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{-18}{2} = -9$.

Таким образом, абсцисса искомой точки равна -9, а ордината равна 0. Координаты точки пересечения серединного перпендикуляра с осью абсцисс — $(-9; 0)$.

Ответ: $(-9; 0)$.