Номер 873, страница 221 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

873. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки $A (5; 1)$, $B (9; -2)$, $C (7; 2)$, – прямоугольный, и составьте уравнение окружности, описанной около него.

Доказательство того, что треугольник является прямоугольным

Чтобы доказать, что треугольник с вершинами в точках $A(5; 1)$, $B(9; -2)$, $C(7; 2)$ является прямоугольным, мы можем использовать теорему, обратную теореме Пифагора. Для этого необходимо найти квадраты длин всех его сторон и проверить, равен ли квадрат большей стороны сумме квадратов двух других.

Квадрат расстояния $d^2$ между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Вычислим квадрат длины стороны $AC$:
$AC^2 = (7 - 5)^2 + (2 - 1)^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

2. Вычислим квадрат длины стороны $BC$:
$BC^2 = (7 - 9)^2 + (2 - (-2))^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

3. Вычислим квадрат длины стороны $AB$:
$AB^2 = (9 - 5)^2 + (-2 - 1)^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.

Теперь проверим выполнение теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$5 + 20 = 25$
$25 = 25$
Поскольку равенство выполняется, треугольник $ABC$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $C$ (так как он лежит напротив самой длинной стороны $AB$, которая является гипотенузой).

Ответ: Треугольник с данными вершинами является прямоугольным.

Составление уравнения описанной окружности

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Радиус этой окружности равен половине длины гипотенузы.

1. Найдем координаты центра окружности $O(x_0; y_0)$, который является серединой гипотенузы $AB$. Используем формулы координат середины отрезка: $x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$.
Подставим координаты точек $A(5; 1)$ и $B(9; -2)$:
$x_0 = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$y_0 = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$
Таким образом, центр окружности находится в точке $O(7; -0.5)$.

2. Найдем радиус $R$ окружности. Длина гипотенузы $AB = \sqrt{AB^2} = \sqrt{25} = 5$.
Радиус равен половине гипотенузы: $R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$.

3. Составим уравнение окружности. Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Подставим найденные значения координат центра и радиуса:
$(x - 7)^2 + (y - (-0.5))^2 = 2.5^2$
$(x - 7)^2 + (y + 0.5)^2 = 6.25$

Ответ: $(x - 7)^2 + (y + 0.5)^2 = 6.25$.