Номер 875, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

875. Окружность, центр которой принадлежит оси ординат, проходит через точки $A (1; 2)$ и $B (3; 6)$. Принадлежит ли этой окружности точка $C (-3; 4)$?

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси ординат, значит, его абсцисса $x_0 = 0$. Пусть координаты центра будут $O(0; b)$. Тогда уравнение окружности принимает вид: $x^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Окружность проходит через точки $A(1; 2)$ и $B(3; 6)$. Подставим координаты этих точек в уравнение окружности, чтобы составить систему уравнений для нахождения неизвестных $b$ и $R^2$.

Для точки $A(1; 2)$:
$1^2 + (2 - b)^2 = R^2$
$1 + (2 - b)^2 = R^2$

Для точки $B(3; 6)$:
$3^2 + (6 - b)^2 = R^2$
$9 + (6 - b)^2 = R^2$

Так как правые части обоих уравнений равны $R^2$, приравняем их левые части:
$1 + (2 - b)^2 = 9 + (6 - b)^2$

Раскроем скобки:
$1 + 4 - 4b + b^2 = 9 + 36 - 12b + b^2$
$5 - 4b + b^2 = 45 - 12b + b^2$

Упростим уравнение, сократив $b^2$:
$5 - 4b = 45 - 12b$
Перенесем слагаемые с $b$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$12b - 4b = 45 - 5$
$8b = 40$
$b = 5$

Итак, центр окружности находится в точке $O(0; 5)$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив $b = 5$ в одно из первоначальных уравнений, например, в первое:
$R^2 = 1 + (2 - 5)^2 = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.

Таким образом, уравнение искомой окружности: $x^2 + (y - 5)^2 = 10$.

Наконец, проверим, принадлежит ли точка $C(-3; 4)$ этой окружности. Для этого подставим ее координаты в уравнение:
$(-3)^2 + (4 - 5)^2 = 9 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.
$10 = 10$.

Получено верное равенство, значит, точка $C$ принадлежит окружности.

Ответ: Да, принадлежит.