Номер 882, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

882. Две вершины прямоугольника $ABCD$ – точки $A(3; 2)$ и $B(3; -4)$. Модуль вектора $\overrightarrow{BD}$ равен 10. Найдите координаты точек $C$ и $D$.

Даны координаты двух вершин прямоугольника $ABCD$: $A(3; 2)$ и $B(3; -4)$.

1. Найдем свойства стороны $AB$. Так как абсциссы (координаты по оси x) точек $A$ и $B$ совпадают ($x_A = x_B = 3$), то сторона $AB$ лежит на вертикальной прямой $x=3$. Ее длина равна $|y_A - y_B| = |2 - (-4)| = 6$.

2. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Сторона $BC$ перпендикулярна $AB$, а сторона $AD$ перпендикулярна $AB$. Поскольку $AB$ — вертикальная линия, стороны $BC$ и $AD$ должны быть горизонтальными.

3. Из того, что $BC$ и $AD$ — горизонтальные линии, следует:

• Все точки на прямой $BC$ имеют одинаковую ординату (координату по оси y). Значит, $y_C = y_B = -4$.
• Все точки на прямой $AD$ имеют одинаковую ординату. Значит, $y_D = y_A = 2$.

4. Противоположные стороны прямоугольника параллельны. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Так как $AB$ — вертикальная линия, то и $CD$ — вертикальная линия. Это означает, что абсциссы точек $C$ и $D$ равны. Обозначим эту неизвестную абсциссу как $x$.

Таким образом, мы можем записать координаты искомых точек как $C(x; -4)$ и $D(x; 2)$.

5. По условию, модуль (длина) вектора $\vec{BD}$ равен 10. Длина вектора с началом в точке $B(x_B; y_B)$ и концом в точке $D(x_D; y_D)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{BD}| = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2}$

Подставим известные координаты точек $B(3; -4)$ и $D(x; 2)$, а также заданную длину вектора:

$10 = \sqrt{(x - 3)^2 + (2 - (-4))^2}$

Упростим выражение под корнем:

$10 = \sqrt{(x - 3)^2 + (6)^2}$

$10 = \sqrt{(x - 3)^2 + 36}$

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$10^2 = (x - 3)^2 + 36$

$100 = (x - 3)^2 + 36$

$(x - 3)^2 = 100 - 36$

$(x - 3)^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два решения:

$x - 3 = 8$ или $x - 3 = -8$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1:

$x - 3 = 8$

$x = 11$

В этом случае координаты точек: $C(11; -4)$ и $D(11; 2)$.

Случай 2:

$x - 3 = -8$

$x = -5$

В этом случае координаты точек: $C(-5; -4)$ и $D(-5; 2)$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для пары точек $C$ и $D$.

Ответ: $C(11; -4)$ и $D(11; 2)$ или $C(-5; -4)$ и $D(-5; 2)$.