Номер 888, страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

888. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD : DC = 1 : 2$, $BE : EC = 2 : 1$. Выразите:

1) векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ и $\overrightarrow{CD}$ через векторы $\overrightarrow{BE} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$;

2) векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AC}$ через векторы $\overrightarrow{AE} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{CD} = \vec{b}$.

Примечание: В условии задачи указано, что точка $D$ лежит на стороне $AB$, но соотношение дано как $AD:DC = 1:2$. Так как точка $C$ не принадлежит прямой $AB$ (иначе это был бы не треугольник), это является опечаткой. Наиболее вероятное и логичное исправление — $AD:DB = 1:2$. Дальнейшее решение основано на этом исправленном условии.

Итак, имеем:
Точка $D$ на стороне $AB$ такая, что $AD : DB = 1 : 2$.
Точка $E$ на стороне $BC$ такая, что $BE : EC = 2 : 1$.

Исходя из данных соотношений, выразим нужные нам векторы.

Из соотношения $BE : EC = 2 : 1$ следует, что длина отрезка $EC$ в два раза меньше длины отрезка $BE$. Векторы $\vec{BE}$ и $\vec{EC}$ сонаправлены, поэтому $\vec{EC} = \frac{1}{2}\vec{BE}$.
Так как $\vec{BE} = \vec{a}$, получаем $\vec{EC} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
Вектор $\vec{BC}$ равен сумме векторов $\vec{BE}$ и $\vec{EC}$:
$\vec{BC} = \vec{BE} + \vec{EC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{3}{2}\vec{a}$.

Из соотношения $AD : DB = 1 : 2$ следует, что длина отрезка $DB$ в два раза больше длины отрезка $AD$. Векторы $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$ сонаправлены, поэтому $\vec{DB} = 2\vec{AD}$.
Так как $\vec{AD} = \vec{b}$, получаем $\vec{DB} = 2\vec{b}$.
Вектор $\vec{AB}$ равен сумме векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DB}$:
$\vec{AB} = \vec{AD} + \vec{DB} = \vec{b} + 2\vec{b} = 3\vec{b}$.

Теперь, зная $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, можем найти остальные векторы:

Вектор $\vec{AC}$ по правилу сложения векторов (правило треугольника):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = 3\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{a}$.

Вектор $\vec{AE}$ по правилу треугольника:
$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = 3\vec{b} + \vec{a}$.

Вектор $\vec{CD}$ по правилу треугольника:
$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{AC} + \vec{AD} = -(3\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{a}) + \vec{b} = -3\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{a} + \vec{b} = -2\vec{b} - \frac{3}{2}\vec{a}$.

Ответ: $\vec{BC} = \frac{3}{2}\vec{a}$; $\vec{AB} = 3\vec{b}$; $\vec{AC} = \frac{3}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$; $\vec{AE} = \vec{a} + 3\vec{b}$; $\vec{CD} = -\frac{3}{2}\vec{a} - 2\vec{b}$.

Для решения этой задачи введем базисные векторы, например, $\vec{BA} = \vec{x}$ и $\vec{BC} = \vec{y}$. Выразим через них данные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а затем решим систему уравнений, чтобы найти выражения для $\vec{x}$ и $\vec{y}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Из условия $AD : DB = 1 : 2$ следует, что $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{x}$, то $\vec{AD} = -\frac{1}{3}\vec{x}$. Также $\vec{BD} = \frac{2}{3}\vec{BA} = \frac{2}{3}\vec{x}$.
Из условия $BE : EC = 2 : 1$ следует, что $\vec{BE} = \frac{2}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{y}$.

Теперь выразим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ через $\vec{x}$ и $\vec{y}$:
$\vec{a} = \vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = -\vec{x} + \frac{2}{3}\vec{y}$.
$\vec{b} = \vec{CD} = \vec{CB} + \vec{BD} = -\vec{y} + \frac{2}{3}\vec{x}$.

Мы получили систему из двух векторных уравнений:
$ \begin{cases} \vec{a} = -\vec{x} + \frac{2}{3}\vec{y} \\ \vec{b} = \frac{2}{3}\vec{x} - \vec{y} \end{cases} $

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $\vec{y}$:
$\vec{y} = \frac{2}{3}\vec{x} - \vec{b}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\vec{a} = -\vec{x} + \frac{2}{3}(\frac{2}{3}\vec{x} - \vec{b})$
$\vec{a} = -\vec{x} + \frac{4}{9}\vec{x} - \frac{2}{3}\vec{b}$
$\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = (-\frac{9}{9} + \frac{4}{9})\vec{x}$
$\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{5}{9}\vec{x}$
Отсюда находим $\vec{x}$:
$\vec{x} = -\frac{9}{5}(\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) = -\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}$.

Теперь, зная $\vec{x}$, найдем $\vec{y}$:
$\vec{y} = \frac{2}{3}\vec{x} - \vec{b} = \frac{2}{3}(-\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}) - \vec{b} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{b} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$.

Мы нашли выражения для базисных векторов: $\vec{BA} = \vec{x} = -\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}$ и $\vec{BC} = \vec{y} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$.
Теперь можем найти искомые векторы:

$\vec{AB} = -\vec{BA} = -(\vec{x}) = -(-\frac{9}{5}\vec{a} - \frac{6}{5}\vec{b}) = \frac{9}{5}\vec{a} + \frac{6}{5}\vec{b}$.

$\vec{BC} = \vec{y} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = (\frac{9}{5}\vec{a} + \frac{6}{5}\vec{b}) + (-\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}) = (\frac{9}{5} - \frac{6}{5})\vec{a} + (\frac{6}{5} - \frac{9}{5})\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{9}{5}\vec{a} + \frac{6}{5}\vec{b}$; $\vec{BC} = -\frac{6}{5}\vec{a} - \frac{9}{5}\vec{b}$; $\vec{AC} = \frac{3}{5}\vec{a} - \frac{3}{5}\vec{b}$.