Номер 881, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

881. Найдите уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (-3; -2)$ и $B (2; 5)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки A и B, представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Каждая точка этой прямой равноудалена от точек A и B.

Пусть точка C(x; y) является центром такой окружности. Тогда расстояние от точки C до точки A равно расстоянию от точки C до точки B, то есть $CA = CB$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, возведем обе части равенства в квадрат: $CA^2 = CB^2$.

Используем формулу для нахождения квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Даны точки A с координатами (-3; -2) и B с координатами (2; 5).

Выразим квадраты расстояний $CA^2$ и $CB^2$:

$CA^2 = (x - (-3))^2 + (y - (-2))^2 = (x + 3)^2 + (y + 2)^2$

$CB^2 = (x - 2)^2 + (y - 5)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25$

Теперь упростим уравнение. Члены $x^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются:

$6x + 4y + 9 + 4 = -4x - 10y + 4 + 25$

$6x + 4y + 13 = -4x - 10y + 29$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные:

$6x + 4x + 4y + 10y + 13 - 29 = 0$

Приведем подобные члены:

$10x + 14y - 16 = 0$

Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Его можно упростить, разделив обе части на общий делитель 2:

$5x + 7y - 8 = 0$

Ответ: $5x + 7y - 8 = 0$.