Номер 886, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

886. Точки E и F – середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD соответственно (рис. 287). Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 286

Рис. 287

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов. Представим вектор $\vec{EF}$ как сумму векторов, идущих по сторонам параллелограмма:

$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$

Теперь найдем каждый из векторов в этой сумме, выразив их через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию, точка F является серединой стороны BC. Это означает, что вектор $\vec{BF}$ равен половине вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Так как нам дано, что $\vec{BC} = \vec{a}$, получаем:

$\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{a}$

Аналогично, точка E является серединой стороны AB. Следовательно, вектор $\vec{EB}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{EB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Чтобы найти $\vec{AB}$, воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, который нам дан.

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

Так как по условию $\vec{CD} = \vec{b}$, то:

$\vec{DC} = -\vec{b}$

Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{b}$.

Теперь мы можем выразить вектор $\vec{EB}$:

$\vec{EB} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(-\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{b}$

Наконец, подставим найденные выражения для $\vec{EB}$ и $\vec{BF}$ в исходное равенство:

$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$

Для более удобного вида можно вынести общий множитель за скобки:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$