Номер 892, страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

892. Найдите косинусы углов треугольника $ABC$, если $A (-3; -4)$, $B (2; -3)$, $C (3; 5)$. Установите вид треугольника.

Для нахождения косинусов углов треугольника воспользуемся скалярным произведением векторов. Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Координаты вершин треугольника: $A(-3; -4)$, $B(2; -3)$, $C(3; 5)$.

1. Угол A образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
Найдем координаты и длины векторов:
$\vec{AB} = (2 - (-3); -3 - (-4)) = (5; 1)$
$\vec{AC} = (3 - (-3); 5 - (-4)) = (6; 9)$
$|\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$
Найдем скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 6 + 1 \cdot 9 = 30 + 9 = 39$
Вычислим косинус угла A:
$\cos A = \frac{39}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{117}} = \frac{39}{\sqrt{2 \cdot 13} \cdot 3\sqrt{13}} = \frac{39}{3 \cdot 13 \cdot \sqrt{2}} = \frac{39}{39\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. Угол B образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.
Найдем координаты и длины векторов:
$\vec{BA} = (-3 - 2; -4 - (-3)) = (-5; -1)$
$\vec{BC} = (3 - 2; 5 - (-3)) = (1; 8)$
$|\vec{BA}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$
Найдем скалярное произведение:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-5) \cdot 1 + (-1) \cdot 8 = -5 - 8 = -13$
Вычислим косинус угла B:
$\cos B = \frac{-13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{65}} = \frac{-13}{\sqrt{2 \cdot 13} \cdot \sqrt{5 \cdot 13}} = \frac{-13}{13\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

3. Угол C образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.
Найдем координаты и длины векторов:
$\vec{CA} = (-3 - 3; -4 - 5) = (-6; -9)$
$\vec{CB} = (2 - 3; -3 - 5) = (-1; -8)$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-6)^2 + (-9)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}$
$|\vec{CB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$
Найдем скалярное произведение:
$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-6) \cdot (-1) + (-9) \cdot (-8) = 6 + 72 = 78$
Вычислим косинус угла C:
$\cos C = \frac{78}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{65}} = \frac{78}{3\sqrt{13} \cdot \sqrt{5 \cdot 13}} = \frac{78}{3 \cdot 13 \cdot \sqrt{5}} = \frac{78}{39\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos B = -\frac{\sqrt{10}}{10}$, $\cos C = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Вид треугольника определим по длинам его сторон и знакам косинусов углов.
1. По сторонам:
Длины сторон треугольника: $c = |\vec{AB}| = \sqrt{26}$, $b = |\vec{AC}| = \sqrt{117}$, $a = |\vec{BC}| = \sqrt{65}$.
Так как все стороны имеют разную длину ($\sqrt{26} \neq \sqrt{65} \neq \sqrt{117}$), то треугольник является разносторонним.
2. По углам:
- $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, значит, угол $A$ — острый.
- $\cos B = -\frac{\sqrt{10}}{10} < 0$, значит, угол $B$ — тупой.
- $\cos C = \frac{2\sqrt{5}}{5} > 0$, значит, угол $C$ — острый.
Поскольку в треугольнике есть тупой угол (угол $B$), он является тупоугольным.

Ответ: Треугольник является разносторонним и тупоугольным.