Номер 894, страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

894. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{m} + \vec{n}$ и $\vec{b} = \vec{m} - 2\vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Для нахождения косинуса угла необходимо вычислить скалярное произведение векторов $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и их модули $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$.

Воспользуемся данными из условия задачи: $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$. Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. Также мы знаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2 = 1^2 = 1$ и $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2 = 1^2 = 1$.

1. Вычисление скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\vec{m} \cdot \vec{m} - 3\vec{m} \cdot 2\vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{m} - \vec{n} \cdot 2\vec{n} = 3(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Подставим известные значения $\vec{m} \cdot \vec{m} = 1$, $\vec{n} \cdot \vec{n} = 1$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 0 + 0 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$

2. Вычисление модуля вектора $|\vec{a}|$

Модуль вектора находится через его скалярный квадрат: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$.

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{m} + \vec{n}) \cdot (3\vec{m} + \vec{n}) = 9(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{n})$

Подставим известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 9 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 1 = 10$

Следовательно, $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

3. Вычисление модуля вектора $|\vec{b}|$

Аналогично для вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = \sqrt{\vec{b} \cdot \vec{b}}$.

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{m} - 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} - 2\vec{n}) = (\vec{m} \cdot \vec{m}) - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Подставим известные значения:

$|\vec{b}|^2 = 1^2 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 1^2 = 1 - 0 + 4 = 5$

Следовательно, $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

4. Нахождение косинуса угла

Подставим найденные величины в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$