Номер 889, страница 223 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

889. Коллинеарны ли векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$, если M (4; -1), N (-6; 5), K (7; -2), P (2; 1)?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, необходимо найти их координаты, а затем проверить, пропорциональны ли они.

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{MN}$.Координаты вектора находятся вычитанием координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки. Для вектора $\overrightarrow{MN}$ с началом в точке $M(4; -1)$ и концом в точке $N(-6; 5)$ координаты будут следующими:$x_{MN} = x_N - x_M = -6 - 4 = -10$$y_{MN} = y_N - y_M = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$Таким образом, вектор $\overrightarrow{MN}$ имеет координаты $(-10; 6)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{KP}$.Для вектора $\overrightarrow{KP}$ с началом в точке $K(7; -2)$ и концом в точке $P(2; 1)$ координаты будут следующими:$x_{KP} = x_P - x_K = 2 - 7 = -5$$y_{KP} = y_P - y_K = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$Таким образом, вектор $\overrightarrow{KP}$ имеет координаты $(-5; 3)$.

3. Проверим условие коллинеарности.Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Это условие можно записать в виде равенства отношений координат:$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

Подставим координаты векторов $\overrightarrow{MN}(-10; 6)$ и $\overrightarrow{KP}(-5; 3)$ в это равенство:$\frac{-10}{-5} = \frac{6}{3}$Вычислим значения отношений:$2 = 2$

Так как равенство выполняется, это означает, что координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KP}$ коллинеарны. Коэффициент пропорциональности $k=2$, то есть $\overrightarrow{MN} = 2 \cdot \overrightarrow{KP}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.