Номер 883, страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

883. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 286). Выразите векторы $\vec{CD}$ и $\vec{AD}$ через векторы $\vec{CO} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Рис. 286

Выразим вектор $\vec{CD}$

Для нахождения вектора $\vec{CD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $COD$. По этому правилу, вектор, соединяющий две вершины, равен сумме векторов, составляющих путь от начальной до конечной точки через третью вершину:
$\vec{CD} = \vec{CO} + \vec{OD}$

Из условия задачи мы знаем, что $\vec{CO} = \vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{OD}$. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $BO = OD$. Векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ имеют одинаковую длину, но противоположно направлены, поэтому $\vec{OD} = -\vec{OB}$.
По условию $\vec{OB} = \vec{b}$, следовательно:
$\vec{OD} = -\vec{b}$

Подставим известные значения в исходную формулу:
$\vec{CD} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{CD} = \vec{a} - \vec{b}$

Выразим вектор $\vec{AD}$

Для нахождения вектора $\vec{AD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $AOD$:
$\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD}$

Вектор $\vec{OD}$ мы уже нашли: $\vec{OD} = -\vec{b}$.

Теперь найдем вектор $\vec{AO}$. Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, $AO = OC$. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены и равны по модулю, значит $\vec{AO} = \vec{OC}$.
Вектор $\vec{OC}$ противоположен вектору $\vec{CO}$, поэтому $\vec{OC} = -\vec{CO}$.
По условию $\vec{CO} = \vec{a}$, значит $\vec{OC} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{AO} = -\vec{a}$.

Подставим найденные векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OD}$ в формулу для $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{AD} = -\vec{a} - \vec{b}$