Страница 222 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

875. Окружность, центр которой принадлежит оси ординат, проходит через точки $A (1; 2)$ и $B (3; 6)$. Принадлежит ли этой окружности точка $C (-3; 4)$?

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси ординат, значит, его абсцисса $x_0 = 0$. Пусть координаты центра будут $O(0; b)$. Тогда уравнение окружности принимает вид: $x^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Окружность проходит через точки $A(1; 2)$ и $B(3; 6)$. Подставим координаты этих точек в уравнение окружности, чтобы составить систему уравнений для нахождения неизвестных $b$ и $R^2$.

Для точки $A(1; 2)$:
$1^2 + (2 - b)^2 = R^2$
$1 + (2 - b)^2 = R^2$

Для точки $B(3; 6)$:
$3^2 + (6 - b)^2 = R^2$
$9 + (6 - b)^2 = R^2$

Так как правые части обоих уравнений равны $R^2$, приравняем их левые части:
$1 + (2 - b)^2 = 9 + (6 - b)^2$

Раскроем скобки:
$1 + 4 - 4b + b^2 = 9 + 36 - 12b + b^2$
$5 - 4b + b^2 = 45 - 12b + b^2$

Упростим уравнение, сократив $b^2$:
$5 - 4b = 45 - 12b$
Перенесем слагаемые с $b$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$12b - 4b = 45 - 5$
$8b = 40$
$b = 5$

Итак, центр окружности находится в точке $O(0; 5)$.

Теперь найдем квадрат радиуса $R^2$, подставив $b = 5$ в одно из первоначальных уравнений, например, в первое:
$R^2 = 1 + (2 - 5)^2 = 1 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10$.

Таким образом, уравнение искомой окружности: $x^2 + (y - 5)^2 = 10$.

Наконец, проверим, принадлежит ли точка $C(-3; 4)$ этой окружности. Для этого подставим ее координаты в уравнение:
$(-3)^2 + (4 - 5)^2 = 9 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.
$10 = 10$.

Получено верное равенство, значит, точка $C$ принадлежит окружности.

Ответ: Да, принадлежит.

876. Окружность с центром в точке $M (-5; 3)$ касается оси ординат. Найдите координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности находится в точке $M(-5; 3)$. Это означает, что $x_0 = -5$ и $y_0 = 3$.

Окружность касается оси ординат (оси $Oy$). Ось ординат задается уравнением $x=0$. Радиус окружности, касающейся вертикальной прямой, равен расстоянию от центра окружности до этой прямой. Расстояние от точки $M(-5; 3)$ до прямой $x=0$ равно модулю абсциссы центра:

$R = |x_0| = |-5| = 5$.

Теперь, зная координаты центра и радиус, мы можем составить уравнение данной окружности:

$(x - (-5))^2 + (y - 3)^2 = 5^2$

$(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Далее необходимо найти координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс (осью $Ox$). Все точки, лежащие на оси абсцисс, имеют ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение окружности, чтобы найти соответствующие абсциссы $x$:

$(x + 5)^2 + (0 - 3)^2 = 25$

$(x + 5)^2 + 9 = 25$

Решим полученное уравнение:

$(x + 5)^2 = 25 - 9$

$(x + 5)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$x + 5 = 4$ или $x + 5 = -4$

Из первого уравнения находим $x_1$:

$x_1 = 4 - 5 = -1$

Из второго уравнения находим $x_2$:

$x_2 = -4 - 5 = -9$

Таким образом, окружность пересекает ось абсцисс в двух точках с абсциссами -1 и -9. Поскольку эти точки лежат на оси $Ox$, их ординаты равны 0.

Координаты точек пересечения: $(-1; 0)$ и $(-9; 0)$.

Ответ: $(-9; 0)$ и $(-1; 0)$.

877. Найдите длину линии, заданной уравнением $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$.

Чтобы найти длину линии, необходимо сначала определить ее тип. Для этого преобразуем данное уравнение к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) - 20 = 0$

Теперь дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения $(x^2 - 2x)$ нужно добавить и вычесть $(\frac{-2}{2})^2 = (-1)^2 = 1$. Для выражения $(y^2 + 4y)$ нужно добавить и вычесть $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 - 20 = 0$

Свернем полные квадраты:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 1 - 4 - 20 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(1, -2)$, а квадрат радиуса $R^2 = 25$, следовательно, радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Длина линии, которой является окружность, — это ее длина окружности, вычисляемая по формуле $L = 2\pi R$.

Подставим значение радиуса $R=5$:

$L = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$.

878. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $P(-3; 5)$, угловой коэффициент которой равен 6.

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом $k$ — это $y = kx + b$. Также можно использовать уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с заданным угловым коэффициентом $k$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$

Из условия задачи нам даны:
- Точка $P$ с координатами $(x_0; y_0) = (-3; 5)$.
- Угловой коэффициент $k = 6$.

Подставим известные значения в формулу:
$y - 5 = 6(x - (-3))$

Теперь преобразуем уравнение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$.
$y - 5 = 6(x + 3)$
Раскроем скобки в правой части:
$y - 5 = 6x + 18$
Перенесем $-5$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$y = 6x + 18 + 5$
$y = 6x + 23$

Ответ: $y = 6x + 23$

879. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку S $(-1; 4)$ и образует угол $135^\circ$ с положительным направлением оси абсцисс.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. По условию, $\alpha = 135°$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(135°) = \tan(180° - 45°) = -\tan(45°) = -1$

Прямая проходит через точку $S(-1; 4)$, значит, $x_0 = -1$ и $y_0 = 4$.

Подставим значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в формулу уравнения прямой:

$y - 4 = -1 \cdot (x - (-1))$

Упростим полученное уравнение:

$y - 4 = -(x + 1)$

$y - 4 = -x - 1$

Перенесем -4 в правую часть, чтобы выразить $y$:

$y = -x - 1 + 4$

$y = -x + 3$

Также можно представить это уравнение в общем виде, перенеся все слагаемые в левую часть:

$x + y - 3 = 0$

Ответ: $y = -x + 3$

880. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A (-3; 1) параллельно прямой $5x + 3y = 6$.

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, записанное в общем виде $Ax + By + C = 0$, имеет угловой коэффициент $k = -A/B$. Следовательно, любая прямая, параллельная данной, будет иметь вид $Ax + By + D = 0$, где $D$ — некоторая константа.

Уравнение данной прямой — $5x + 3y = 6$. Значит, уравнение искомой прямой, которая ей параллельна, можно записать в виде $5x + 3y + C = 0$.

Чтобы найти значение константы $C$, мы используем тот факт, что искомая прямая проходит через точку $A(-3; 1)$. Подставим координаты этой точки $(x = -3, y = 1)$ в уравнение $5x + 3y + C = 0$:
$5 \cdot (-3) + 3 \cdot 1 + C = 0$
$-15 + 3 + C = 0$
$-12 + C = 0$
$C = 12$

Подставив найденное значение $C = 12$ в уравнение, получаем искомую прямую.

Ответ: $5x + 3y + 12 = 0$

881. Найдите уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (-3; -2)$ и $B (2; 5)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки A и B, представляет собой прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Каждая точка этой прямой равноудалена от точек A и B.

Пусть точка C(x; y) является центром такой окружности. Тогда расстояние от точки C до точки A равно расстоянию от точки C до точки B, то есть $CA = CB$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, возведем обе части равенства в квадрат: $CA^2 = CB^2$.

Используем формулу для нахождения квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Даны точки A с координатами (-3; -2) и B с координатами (2; 5).

Выразим квадраты расстояний $CA^2$ и $CB^2$:

$CA^2 = (x - (-3))^2 + (y - (-2))^2 = (x + 3)^2 + (y + 2)^2$

$CB^2 = (x - 2)^2 + (y - 5)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = (x - 2)^2 + (y - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25$

Теперь упростим уравнение. Члены $x^2$ и $y^2$ взаимно уничтожаются:

$6x + 4y + 9 + 4 = -4x - 10y + 4 + 25$

$6x + 4y + 13 = -4x - 10y + 29$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные:

$6x + 4x + 4y + 10y + 13 - 29 = 0$

Приведем подобные члены:

$10x + 14y - 16 = 0$

Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Его можно упростить, разделив обе части на общий делитель 2:

$5x + 7y - 8 = 0$

Ответ: $5x + 7y - 8 = 0$.

882. Две вершины прямоугольника $ABCD$ – точки $A(3; 2)$ и $B(3; -4)$. Модуль вектора $\overrightarrow{BD}$ равен 10. Найдите координаты точек $C$ и $D$.

Даны координаты двух вершин прямоугольника $ABCD$: $A(3; 2)$ и $B(3; -4)$.

1. Найдем свойства стороны $AB$. Так как абсциссы (координаты по оси x) точек $A$ и $B$ совпадают ($x_A = x_B = 3$), то сторона $AB$ лежит на вертикальной прямой $x=3$. Ее длина равна $|y_A - y_B| = |2 - (-4)| = 6$.

2. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Сторона $BC$ перпендикулярна $AB$, а сторона $AD$ перпендикулярна $AB$. Поскольку $AB$ — вертикальная линия, стороны $BC$ и $AD$ должны быть горизонтальными.

3. Из того, что $BC$ и $AD$ — горизонтальные линии, следует:

• Все точки на прямой $BC$ имеют одинаковую ординату (координату по оси y). Значит, $y_C = y_B = -4$.
• Все точки на прямой $AD$ имеют одинаковую ординату. Значит, $y_D = y_A = 2$.

4. Противоположные стороны прямоугольника параллельны. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Так как $AB$ — вертикальная линия, то и $CD$ — вертикальная линия. Это означает, что абсциссы точек $C$ и $D$ равны. Обозначим эту неизвестную абсциссу как $x$.

Таким образом, мы можем записать координаты искомых точек как $C(x; -4)$ и $D(x; 2)$.

5. По условию, модуль (длина) вектора $\vec{BD}$ равен 10. Длина вектора с началом в точке $B(x_B; y_B)$ и концом в точке $D(x_D; y_D)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{BD}| = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2}$

Подставим известные координаты точек $B(3; -4)$ и $D(x; 2)$, а также заданную длину вектора:

$10 = \sqrt{(x - 3)^2 + (2 - (-4))^2}$

Упростим выражение под корнем:

$10 = \sqrt{(x - 3)^2 + (6)^2}$

$10 = \sqrt{(x - 3)^2 + 36}$

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$10^2 = (x - 3)^2 + 36$

$100 = (x - 3)^2 + 36$

$(x - 3)^2 = 100 - 36$

$(x - 3)^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два решения:

$x - 3 = 8$ или $x - 3 = -8$

Рассмотрим оба случая.

Случай 1:

$x - 3 = 8$

$x = 11$

В этом случае координаты точек: $C(11; -4)$ и $D(11; 2)$.

Случай 2:

$x - 3 = -8$

$x = -5$

В этом случае координаты точек: $C(-5; -4)$ и $D(-5; 2)$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения для пары точек $C$ и $D$.

Ответ: $C(11; -4)$ и $D(11; 2)$ или $C(-5; -4)$ и $D(-5; 2)$.

883. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 286). Выразите векторы $\vec{CD}$ и $\vec{AD}$ через векторы $\vec{CO} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Рис. 286

Выразим вектор $\vec{CD}$

Для нахождения вектора $\vec{CD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $COD$. По этому правилу, вектор, соединяющий две вершины, равен сумме векторов, составляющих путь от начальной до конечной точки через третью вершину:
$\vec{CD} = \vec{CO} + \vec{OD}$

Из условия задачи мы знаем, что $\vec{CO} = \vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{OD}$. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $BO = OD$. Векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ имеют одинаковую длину, но противоположно направлены, поэтому $\vec{OD} = -\vec{OB}$.
По условию $\vec{OB} = \vec{b}$, следовательно:
$\vec{OD} = -\vec{b}$

Подставим известные значения в исходную формулу:
$\vec{CD} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{CD} = \vec{a} - \vec{b}$

Выразим вектор $\vec{AD}$

Для нахождения вектора $\vec{AD}$ воспользуемся правилом сложения векторов для треугольника $AOD$:
$\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD}$

Вектор $\vec{OD}$ мы уже нашли: $\vec{OD} = -\vec{b}$.

Теперь найдем вектор $\vec{AO}$. Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, $AO = OC$. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены и равны по модулю, значит $\vec{AO} = \vec{OC}$.
Вектор $\vec{OC}$ противоположен вектору $\vec{CO}$, поэтому $\vec{OC} = -\vec{CO}$.
По условию $\vec{CO} = \vec{a}$, значит $\vec{OC} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{AO} = -\vec{a}$.

Подставим найденные векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OD}$ в формулу для $\vec{AD}$:
$\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{AD} = -\vec{a} - \vec{b}$

884. Четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{BA} + \vec{CD} - \vec{CB}$;

2) $\vec{AB} - \vec{DA} - \vec{BD} + \vec{CD}$;

3) $\vec{AD} - \vec{BA} - \vec{AC}$.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ – параллелограмм, для векторов, образованных его сторонами и диагоналями, выполняются следующие свойства:

• Векторы противоположных сторон равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ (и, следовательно, $\vec{BA} = \vec{CD}$) и $\vec{AD} = \vec{BC}$ (и, следовательно, $\vec{DA} = \vec{CB}$).
• Правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.
• Правило вычитания векторов с общим началом: $\vec{XY} - \vec{XZ} = \vec{ZY}$.

Используя эти свойства, решим каждую задачу.

Необходимо найти $\vec{BA} + \vec{CD} - \vec{CB}$.

Так как $ABCD$ – параллелограмм, то векторы его противоположных сторон $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$ равны: $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Подставим это равенство в исходное выражение:

$\vec{BA} + \vec{CD} - \vec{CB} = \vec{BA} + \vec{BA} - \vec{CB} = 2\vec{BA} - \vec{CB}$.

Это выражение является окончательным, так как в общем виде для параллелограмма его нельзя упростить до одного вектора.

Ответ: $2\vec{BA} - \vec{CB}$.

Необходимо найти $\vec{AB} - \vec{DA} - \vec{BD} + \vec{CD}$.

Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами. Напомним, что $-\vec{DA} = \vec{AD}$ и $-\vec{BD} = \vec{DB}$.

Выражение принимает вид:

$\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{DB} + \vec{CD}$.

Сгруппируем второе и третье слагаемые и применим правило треугольника для сложения векторов:

$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение:

$\vec{AB} + (\vec{AD} + \vec{DB}) + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{AB} + \vec{CD}$.

Из свойств параллелограмма мы знаем, что $\vec{CD} = \vec{BA}$, а $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Следовательно:

$2\vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{AB}$.

Ответ: $\vec{AB}$.

Необходимо найти $\vec{AD} - \vec{BA} - \vec{AC}$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые:

$(\vec{AD} - \vec{AC}) - \vec{BA}$.

Воспользуемся правилом вычитания векторов, исходящих из одной точки $A$: $\vec{AD} - \vec{AC} = \vec{CD}$.

Тогда выражение упрощается до:

$\vec{CD} - \vec{BA}$.

Поскольку $ABCD$ – параллелограмм, векторы $\vec{CD}$ и $\vec{BA}$ равны: $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Таким образом, их разность равна нулевому вектору:

$\vec{BA} - \vec{BA} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$.

б) $AD - D\vec{A} - \vec{FC}$.

885. Найдите модуль вектора $\vec{n} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$, где $\vec{a}(1; -2)$, $\vec{b}(-1; 3)$.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{n} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$, необходимо сначала найти координаты самого вектора $\vec{n}$.

Нам даны векторы с координатами: $\vec{a}\{1; -2\}$ и $\vec{b}\{-1; 3\}$.

1. Сначала вычислим координаты вектора $3\vec{a}$, умножив каждую координату вектора $\vec{a}$ на число 3:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{1; -2\} = \{3 \cdot 1; 3 \cdot (-2)\} = \{3; -6\}$

2. Затем вычислим координаты вектора $2\vec{b}$, умножив каждую координату вектора $\vec{b}$ на число 2:

$2\vec{b} = 2 \cdot \{-1; 3\} = \{2 \cdot (-1); 2 \cdot 3\} = \{-2; 6\}$

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{n}$ как разность векторов $3\vec{a}$ и $2\vec{b}$. Для этого из координат вектора $3\vec{a}$ вычтем соответствующие координаты вектора $2\vec{b}$:

$\vec{n} = 3\vec{a} - 2\vec{b} = \{3; -6\} - \{-2; 6\} = \{3 - (-2); -6 - 6\} = \{5; -12\}$

4. Теперь, зная координаты вектора $\vec{n}\{5; -12\}$, мы можем найти его модуль (длину). Модуль вектора $\vec{v}\{x; y\}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{n}$ в формулу:

$|\vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

Ответ: 13

886. Точки E и F – середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD соответственно (рис. 287). Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 286

Рис. 287

Для того чтобы выразить вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов. Представим вектор $\vec{EF}$ как сумму векторов, идущих по сторонам параллелограмма:

$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$

Теперь найдем каждый из векторов в этой сумме, выразив их через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

По условию, точка F является серединой стороны BC. Это означает, что вектор $\vec{BF}$ равен половине вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Так как нам дано, что $\vec{BC} = \vec{a}$, получаем:

$\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{a}$

Аналогично, точка E является серединой стороны AB. Следовательно, вектор $\vec{EB}$ равен половине вектора $\vec{AB}$:

$\vec{EB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Чтобы найти $\vec{AB}$, воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, который нам дан.

$\vec{DC} = -\vec{CD}$

Так как по условию $\vec{CD} = \vec{b}$, то:

$\vec{DC} = -\vec{b}$

Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{b}$.

Теперь мы можем выразить вектор $\vec{EB}$:

$\vec{EB} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(-\vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{b}$

Наконец, подставим найденные выражения для $\vec{EB}$ и $\vec{BF}$ в исходное равенство:

$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$

Для более удобного вида можно вынести общий множитель за скобки:

$\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{EF} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$