Страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

898. Постройте образы точек $A (1; -3)$, $B (0; -5)$ и $C (2; 1)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (-2; 1)$. Запишите координаты построенных точек.

При параллельном переносе точки $P(x; y)$ на вектор $\vec{a}(a_x; a_y)$, ее образ $P'(x'; y')$ будет иметь координаты, которые вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
В данной задаче нам задан вектор переноса $\vec{a}(-2; 1)$. Найдем координаты образов для каждой из точек A, B и C.

Точка A(1; -3)
Найдем координаты ее образа, точки $A'(x_A'; y_A')$. Для этого к координатам точки A прибавим соответствующие координаты вектора $\vec{a}$.
$x_A' = 1 + (-2) = -1$
$y_A' = -3 + 1 = -2$
Координаты образа точки A: $A'(-1; -2)$.
Для построения на координатной плоскости необходимо из точки A сместиться на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy. Конец вектора перемещения и будет точкой $A'(-1; -2)$.
Ответ: $A'(-1; -2)$.

Точка B(0; -5)
Найдем координаты ее образа, точки $B'(x_B'; y_B')$.
$x_B' = 0 + (-2) = -2$
$y_B' = -5 + 1 = -4$
Координаты образа точки B: $B'(-2; -4)$.
Построение аналогично: из точки B(0; -5) откладываем вектор $\vec{a}(-2; 1)$ и получаем точку $B'(-2; -4)$.
Ответ: $B'(-2; -4)$.

Точка C(2; 1)
Найдем координаты ее образа, точки $C'(x_C'; y_C')$.
$x_C' = 2 + (-2) = 0$
$y_C' = 1 + 1 = 2$
Координаты образа точки C: $C'(0; 2)$.
Построение: из точки C(2; 1) откладываем вектор $\vec{a}(-2; 1)$ и получаем точку $C'(0; 2)$.
Ответ: $C'(0; 2)$.

899. Даны точки C $(7; -4)$ и D $(-1; 8)$. При параллельном переносе образом середины отрезка CD является точка P $(-1; -3)$. Найдите координаты точек, являющихся образами точек C и D.

Для того чтобы найти координаты образов точек $C$ и $D$, необходимо сначала определить вектор параллельного переноса. Вектор переноса можно найти, зная начальную и конечную точку, через которые он проходит. В условии сказано, что образом середины отрезка $CD$ является точка $P(-1; -3)$.

1. Найдем координаты середины отрезка CD.
Пусть точка $M(x_M; y_M)$ — середина отрезка $CD$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$
$y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$
Подставим координаты точек $C(7; -4)$ и $D(-1; 8)$:
$x_M = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_M = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, середина отрезка $CD$ — это точка $M(3; 2)$.

2. Определим вектор параллельного переноса.
Параллельный перенос задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(a; b)$ — координаты вектора переноса. По условию, точка $M(3; 2)$ переходит в точку $P(-1; -3)$. Найдем значения $a$ и $b$:
$-1 = 3 + a \Rightarrow a = -1 - 3 = -4$
$-3 = 2 + b \Rightarrow b = -3 - 2 = -5$
Следовательно, вектор параллельного переноса имеет координаты $(-4; -5)$.

3. Найдем координаты образов точек C и D.
Теперь применим этот параллельный перенос к точкам $C$ и $D$. Пусть $C'$ и $D'$ — образы точек $C$ и $D$ соответственно.

Для точки $C(7; -4)$ ее образ $C'(x_{C'}; y_{C'})$ будет иметь координаты:
$x_{C'} = 7 + a = 7 + (-4) = 3$
$y_{C'} = -4 + b = -4 + (-5) = -9$
Координаты образа точки $C$ — это $C'(3; -9)$.

Для точки $D(-1; 8)$ ее образ $D'(x_{D'}; y_{D'})$ будет иметь координаты:
$x_{D'} = -1 + a = -1 + (-4) = -5$
$y_{D'} = 8 + b = 8 + (-5) = 3$
Координаты образа точки $D$ — это $D'(-5; 3)$.

Ответ: координаты образа точки C: $(3; -9)$; координаты образа точки D: $(-5; 3)$.

900. На рисунке 289 $CB = CD$, $\angle ACB = \angle ACD$. Докажите, что точки B и D симметричны относительно прямой AC.

900. Рассмотрим треугольники $ \triangle ACB $ и $ \triangle ACD $.
По условию задачи, сторона $ CB = CD $ и угол $ \angle ACB = \angle ACD $.
Сторона $ AC $ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle ACB \cong \triangle ACD $.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $ AB = AD $ и $ \angle CAB = \angle CAD $.
Рассмотрим треугольник $ \triangle ABD $. Так как $ AB = AD $, то он является равнобедренным с основанием $ BD $.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.
Поскольку $ \angle CAB = \angle CAD $, луч $ AC $ является биссектрисой угла $ \angle BAD $.
Следовательно, прямая $ AC $, содержащая биссектрису, является также высотой и медианой треугольника $ \triangle ABD $.
Как высота, прямая $ AC $ перпендикулярна основанию $ BD $ ($ AC \perp BD $).
Как медиана, прямая $ AC $ делит основание $ BD $ пополам.
Прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину, называется серединным перпендикуляром. Таким образом, прямая $ AC $ является серединным перпендикуляром к отрезку $ BD $.
По определению, точки $ B $ и $ D $ симметричны относительно прямой $ AC $. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

901. Пусть дана точка $ K(x; y) = (4; -2) $.
1. Координаты точки, симметричной точке $ K(x; y) $ относительно оси абсцисс (оси Ox), находятся по формуле $ (x; -y) $. Для точки $ K(4; -2) $ симметричная точка будет иметь координаты $ (4; -(-2)) $, то есть $ (4; 2) $.
2. Координаты точки, симметричной точке $ K(x; y) $ относительно оси ординат (оси Oy), находятся по формуле $ (-x; y) $. Для точки $ K(4; -2) $ симметричная точка будет иметь координаты $ (-4; -2) $.
3. Координаты точки, симметричной точке $ K(x; y) $ относительно начала координат $ O(0; 0) $, находятся по формуле $ (-x; -y) $. Для точки $ K(4; -2) $ симметричная точка будет иметь координаты $ (-4; -(-2)) $, то есть $ (-4; 2) $.
Ответ: Координаты точки, симметричной относительно оси абсцисс: $ (4; 2) $; относительно оси ординат: $ (-4; -2) $; относительно начала координат: $ (-4; 2) $.

902. Даны точки $ A(x; -2) $ и $ B(3; y) $.
По условию, точки $ A $ и $ B $ симметричны относительно оси абсцисс (оси Ox).
Если две точки $ (x_1; y_1) $ и $ (x_2; y_2) $ симметричны относительно оси абсцисс, то их абсциссы равны, а ординаты являются противоположными числами. То есть, выполняются условия: $ x_1 = x_2 $ и $ y_1 = -y_2 $.
Применим эти условия к координатам точек $ A $ и $ B $:
$ x = 3 $
$ -2 = -y $
Из второго уравнения, умножив обе части на -1, получаем $ y = 2 $.
Следовательно, искомые значения $ x = 3 $ и $ y = 2 $.
Ответ: $ x = 3, y = 2 $.

901. Найдите координаты точек, симметричных точке $K (4; -2)$ относительно осей координат и начала координат.

Для нахождения координат точек, симметричных точке $K(4; -2)$, необходимо применить правила симметрии относительно осей и начала координат.

Симметрия относительно оси абсцисс (Ox)
При симметричном отражении точки относительно оси абсцисс ее координата $x$ остается неизменной, а координата $y$ меняет свой знак на противоположный.
Исходная точка: $K(4; -2)$.
Координата $x$ остается равной $4$.
Координата $y$ становится равной $-(-2) = 2$.
Следовательно, координаты симметричной точки $K_1$ равны $(4; 2)$.
Ответ: $(4; 2)$

Симметрия относительно оси ординат (Oy)
При симметричном отражении точки относительно оси ординат ее координата $y$ остается неизменной, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный.
Исходная точка: $K(4; -2)$.
Координата $x$ становится равной $-4$.
Координата $y$ остается равной $-2$.
Следовательно, координаты симметричной точки $K_2$ равны $(-4; -2)$.
Ответ: $(-4; -2)$

Симметрия относительно начала координат
При симметричном отражении точки относительно начала координат обе ее координаты, $x$ и $y$, меняют свои знаки на противоположные.
Исходная точка: $K(4; -2)$.
Координата $x$ становится равной $-4$.
Координата $y$ становится равной $-(-2) = 2$.
Следовательно, координаты симметричной точки $K_3$ равны $(-4; 2)$.
Ответ: $(-4; 2)$

902. Найдите $x$ и $y$, если точки $A (x; -2)$ и $B (3; y)$ симметричны относительно оси абсцисс.

По условию задачи, точки $A(x; -2)$ и $B(3; y)$ симметричны относительно оси абсцисс. Ось абсцисс — это горизонтальная ось координат, или ось Ox.

Если две точки симметричны относительно оси абсцисс, то их абсциссы (координаты $x$) равны, а их ординаты (координаты $y$) являются противоположными числами.

Для точек $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ условия симметрии относительно оси абсцисс выглядят так:

1. $x_A = x_B$

2. $y_A = -y_B$

Подставим в эти равенства координаты данных нам точек $A(x; -2)$ и $B(3; y)$.

Из первого условия ($x_A = x_B$) получаем:

$x = 3$

Из второго условия ($y_A = -y_B$) получаем:

$-2 = -y$

Чтобы найти $y$, умножим обе части этого уравнения на $-1$:

$y = 2$

Таким образом, искомые значения переменных равны $x=3$ и $y=2$.

Ответ: $x=3, y=2$.

903. Даны луч $OA$ и точка $B$, ему не принадлежащая. Постройте луч, симметричный данному относительно точки $B$.

Для того чтобы построить луч, симметричный данному лучу $OA$ относительно точки $B$, необходимо выполнить построение симметричных точек для двух любых точек, принадлежащих лучу $OA$. Удобнее всего взять начало луча, точку $O$, и любую другую точку на луче, например, точку $A$.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) означает, что для любой точки $P$ её симметричный образ $P'$ находится на прямой, проходящей через $P$ и центр симметрии $B$, на таком же расстоянии от $B$, но с другой стороны. То есть, точка $B$ является серединой отрезка $PP'$.

Построение выполняется в следующей последовательности:

1. Строим точку $O'$, симметричную началу луча, точке $O$, относительно точки $B$. Для этого проводим прямую через точки $O$ и $B$. С помощью циркуля измеряем расстояние $OB$ и откладываем такой же отрезок $BO'$ на прямой $OB$ за точкой $B$. Точка $O'$ будет являться началом нового луча.

2. Строим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно точки $B$. Для этого проводим прямую через точки $A$ и $B$. Измеряем расстояние $AB$ и откладываем такой же отрезок $BA'$ на прямой $AB$ за точкой $B$.

3. Проводим луч с началом в точке $O'$ через точку $A'$. Этот луч, который мы обозначим как $O'A'$, и будет искомым лучом, симметричным лучу $OA$ относительно точки $B$.

В результате построения получается луч $O'A'$, который параллелен исходному лучу $OA$ (так как четырехугольник $OAA'O'$ является параллелограммом, его диагонали $OO'$ и $AA'$ пересекаются в точке $B$ и делятся ею пополам) и направлен в противоположную сторону.

Ответ: Искомый луч строится по двум точкам. Сначала строится точка $O'$, симметричная началу луча $O$ относительно точки $B$ ($B$ — середина отрезка $OO'$). Затем строится точка $A'$, симметричная любой другой точке $A$ на луче $OA$ относительно точки $B$ ($B$ — середина отрезка $AA'$). Искомый луч $O'A'$ — это луч с началом в точке $O'$ и проходящий через точку $A'$.

904. Симметричны ли точки $M (-3; 10)$ и $N (-1; 6)$ относительно точки $K (1; 4)$?

Для того чтобы точки M и N были симметричны относительно точки K, точка K должна являться серединой отрезка MN. Проверим это условие, найдя координаты середины отрезка MN. Обозначим середину отрезка MN как точку O с координатами $(x_O; y_O)$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_O = \frac{x_M + x_N}{2}$

$y_O = \frac{y_M + y_N}{2}$

Подставим известные координаты точек M (-3; 10) и N (-1; 6):

$x_O = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_O = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, координаты середины отрезка MN равны $(-2; 8)$.

Теперь сравним полученные координаты с координатами точки K (1; 4). Поскольку координаты середины отрезка MN (-2; 8) не совпадают с координатами точки K (1; 4), точка K не является серединой отрезка MN. Следовательно, точки M и N не симметричны относительно точки K.

Ответ: нет.

905. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 11$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-3; 3)$.

Исходное уравнение окружности имеет вид $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 11$.

Стандартное уравнение окружности — это $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где точка $(a, b)$ является центром окружности, а $R$ — ее радиусом. Из исходного уравнения находим, что центр данной окружности — это точка $C$ с координатами $(-4, 5)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 11$.

При симметрии окружности относительно некоторой точки, ее радиус сохраняется, а центр окружности отображается в новую точку, симметричную исходному центру относительно той же точки. Если точка $C'(a', b')$ симметрична точке $C(a, b)$ относительно точки $S(x_s, y_s)$, то $S$ является серединой отрезка $CC'$. Координаты нового центра $C'(a', b')$ можно найти по формулам: $a' = 2x_s - a$ $b' = 2y_s - b$

1) начала координат;

Точкой симметрии является начало координат, точка $O(0, 0)$. Найдем координаты нового центра $C'(a', b')$, который симметричен центру $C(-4, 5)$ относительно точки $O(0, 0)$.

$a' = 2 \cdot 0 - (-4) = 0 + 4 = 4$
$b' = 2 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

Следовательно, новый центр окружности — это точка $C'(4, -5)$. Радиус остается неизменным, $R^2 = 11$. Подставляем новые координаты центра в стандартное уравнение окружности:
$(x - 4)^2 + (y - (-5))^2 = 11$
$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 11$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 11$.

2) точки 𝑀 (−3; 3).

Точкой симметрии является точка $M(-3, 3)$. Найдем координаты нового центра $C'(a', b')$, который симметричен центру $C(-4, 5)$ относительно точки $M(-3, 3)$.

$a' = 2 \cdot (-3) - (-4) = -6 + 4 = -2$
$b' = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$

Следовательно, новый центр окружности — это точка $C'(-2, 1)$. Радиус остается неизменным, $R^2 = 11$. Подставляем новые координаты центра в стандартное уравнение окружности:
$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 11$
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 11$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 11$.

906. Даны точки $K$ и $O$. Постройте точку $K_1$, являющуюся образом точки $K$ при повороте вокруг точки $O$:
1) на угол $130^\circ$ против часовой стрелки;
2) на угол $40^\circ$ по часовой стрелке.

1) Для построения точки $K_1$, являющейся образом точки $K$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $130^{\circ}$ против часовой стрелки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить центр поворота, точку $O$, с точкой $K$, получив отрезок $OK$.
2. С помощью транспортира от луча $OK$ отложить угол в $130^{\circ}$ в направлении против часовой стрелки. Провести луч $l$ из точки $O$, который является второй стороной построенного угла.
3. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OK$.
4. Точка пересечения луча $l$ и построенной окружности является искомой точкой $K_1$.

В результате построения точка $K_1$ такова, что расстояние от нее до центра поворота равно расстоянию от исходной точки до центра ($OK_1 = OK$), а угол $\angle KOK_1$ равен углу поворота ($130^{\circ}$ против часовой стрелки).

Ответ: Искомая точка $K_1$ построена согласно алгоритму. Она лежит на окружности с центром $O$ и радиусом $OK$, и угол $\angle KOK_1$ равен $130^{\circ}$ (отсчитан против часовой стрелки от луча $OK$).

2) Для построения точки $K_1$, являющейся образом точки $K$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $40^{\circ}$ по часовой стрелке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить точки $O$ и $K$ отрезком.
2. От луча $OK$ отложить угол в $40^{\circ}$ в направлении по часовой стрелке, используя транспортир. Провести луч $m$ из точки $O$ так, чтобы он образовывал с лучом $OK$ данный угол.
3. Построить окружность (или ее дугу) с центром в $O$ и радиусом $OK$.
4. Точка пересечения луча $m$ и окружности является искомой точкой $K_1$.

Таким образом, построенная точка $K_1$ удовлетворяет условиям поворота: $OK_1 = OK$ и угол $\angle KOK_1$ равен $40^{\circ}$ (отсчитан по часовой стрелке).

Ответ: Искомая точка $K_1$ построена согласно алгоритму. Она лежит на окружности с центром $O$ и радиусом $OK$, и угол $\angle KOK_1$ равен $40^{\circ}$ (отсчитан по часовой стрелке от луча $OK$).

907. Даны отрезок $AB$ и точка $O$, ему не принадлежащая. Постройте отрезок $A_1B_1$, являющийся образом отрезка $AB$ при повороте на угол $50^\circ$ вокруг точки $O$ по часовой стрелке.

Для того чтобы построить отрезок $A_1B_1$, являющийся образом отрезка $AB$ при повороте, необходимо выполнить поворот его концов — точек $A$ и $B$ — вокруг центра поворота $O$ на заданный угол. Затем образы этих точек, $A_1$ и $B_1$, следует соединить.

Поворот точки $P$ вокруг центра $O$ на угол $50^{\circ}$ по часовой стрелке — это такое преобразование, которое переводит точку $P$ в точку $P_1$ так, что выполняются два условия:

1. Расстояния от центра поворота до исходной точки и ее образа равны: $OA = OA_1$.
2. Угол, образованный лучами $OP$ и $OP_1$, равен углу поворота: $\angle POP_1 = 50^{\circ}$.

Построение выполняется с помощью циркуля и транспортира по следующему алгоритму:

1. Построение образа точки A.
   • Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$ отрезком $OA$.
   • С помощью транспортира откладываем от луча $OA$ угол, равный $50^{\circ}$, в направлении по часовой стрелке. Проводим через точку $O$ новый луч.
   • С помощью циркуля измеряем длину отрезка $OA$.
   • На новом луче откладываем от точки $O$ отрезок $OA_1$ такой же длины. Точка $A_1$ является образом точки $A$.
2. Построение образа точки B.
   • Соединяем точку $B$ с центром поворота $O$ отрезком $OB$.
   • От луча $OB$ откладываем с помощью транспортира угол $50^{\circ}$ по часовой стрелке и проводим соответствующий луч из точки $O$.
   • Измеряем циркулем длину отрезка $OB$ и откладываем на построенном луче отрезок $OB_1$ равной длины. Точка $B_1$ является образом точки $B$.
3. Построение искомого отрезка.
   • Соединяем полученные точки $A_1$ и $B_1$ прямой линией.

В результате этих построений отрезок $A_1B_1$ будет являться образом отрезка $AB$ при повороте на $50^{\circ}$ вокруг точки $O$ по часовой стрелке. По свойству поворота как движения, длина отрезка сохранится, то есть $A_1B_1 = AB$.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$, построенный по вышеописанному алгоритму, является искомым образом отрезка $AB$.

908. На какой угол надо повернуть прямоугольник вокруг его центра симметрии, чтобы его образом был этот же прямоугольник?

Центром симметрии любого прямоугольника является точка пересечения его диагоналей. Поворот фигуры вокруг её центра симметрии, при котором фигура совмещается сама с собой, называется вращательной симметрией. Нам нужно найти угол такой симметрии для прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ с центром симметрии в точке $O$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки $O$ каждая вершина прямоугольника переходит в симметричную ей относительно центра, то есть в противоположную вершину. Вершина $A$ переходит в вершину $C$, вершина $B$ — в вершину $D$, вершина $C$ — в вершину $A$, и вершина $D$ — в вершину $B$.

В результате такого поворота сторона $AB$ отображается на сторону $CD$, а сторона $BC$ — на сторону $DA$. Таким образом, весь прямоугольник совмещается сам с собой. Следовательно, угол поворота в $180^\circ$ удовлетворяет условию задачи.

Этот угол является наименьшим положительным углом, который подходит для любого прямоугольника. Стоит отметить, что поворот на $360^\circ$ также вернет фигуру в исходное положение, но это справедливо для любой фигуры. В частном случае, если прямоугольник является квадратом, он также совместится сам с собой при поворотах на $90^\circ$ и $270^\circ$. Однако, поскольку в задаче речь идет о прямоугольнике в общем виде (не обязательно квадрате), единственным ненулевым углом поворота до $360^\circ$ является $180^\circ$.

Ответ: на $180^\circ$.

909. Постройте треугольник, гомотетичный данному тупоугольному треугольнику, если центром гомотетии является центр окружности, описанной около треугольника, коэффициент гомотетии $k = -2$.

Для построения треугольника, гомотетичного данному тупоугольному треугольнику $ABC$, если центром гомотетии является центр $O$ описанной около него окружности, а коэффициент гомотетии $k = -2$, нужно выполнить следующую последовательность построений:

1. Найти центр гомотетии O.

   Центр гомотетии совпадает с центром описанной окружности треугольника $ABC$. Чтобы найти эту точку, нужно построить серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника (например, $AB$ и $BC$). Точка их пересечения $O$ и будет искомым центром. Для тупоугольного треугольника эта точка всегда лежит вне самого треугольника.

2. Построить вершины нового треугольника A'B'C'.

   По определению гомотетии, для каждой вершины $A, B, C$ исходного треугольника соответствующая вершина $A', B', C'$ нового треугольника удовлетворяет векторному равенству $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$, где $X$ – одна из вершин $A, B, C$, а $X'$ – соответствующая ей вершина $A', B', C'$. Поскольку $k = -2$, это означает, что:

   • Точка-образ (например, $A'$) лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $O$. Так как $k < 0$, точка $A'$ будет лежать на луче, противоположном лучу $OA$.
   • Расстояние от центра $O$ до точки $A'$ будет в два раза больше расстояния от $O$ до $A$, то есть $|OA'| = |k| \cdot |OA| = 2 \cdot |OA|$.

   Алгоритм построения для каждой вершины:

   • Вершина A': Проведите прямую через точки $A$ и $O$. Отложите на этой прямой от точки $O$ в направлении, противоположном точке $A$, отрезок $OA'$, равный $2 \cdot |OA|$.
   • Вершина B': Проведите прямую через точки $B$ и $O$. Отложите на этой прямой от точки $O$ в направлении, противоположном точке $B$, отрезок $OB'$, равный $2 \cdot |OB|$.
   • Вершина C': Проведите прямую через точки $C$ и $O$. Отложите на этой прямой от точки $O$ в направлении, противоположном точке $C$, отрезок $OC'$, равный $2 \cdot |OC|$.
3. Завершить построение.

   Соедините отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$. Треугольник $A'B'C'$ и есть искомый треугольник. Он будет подобен исходному, но в два раза больше по размеру и "перевернут" относительно центра гомотетии $O$.

Ответ: Для построения искомого треугольника $A'B'C'$ необходимо сначала найти центр $O$ описанной окружности данного тупоугольного треугольника $ABC$ (точка пересечения серединных перпендикуляров). Затем для каждой вершины $A, B, C$ построить соответствующую ей вершину $A', B', C'$ так, чтобы точка $O$ лежала на отрезке $AA'$ и выполнялось равенство $|OA'|=2 \cdot |OA|$ (аналогично для других вершин). Соединив точки $A', B', C'$, получим искомый треугольник.

910. Образом точки $A (8; -2)$ при гомотетии с центром в начале координат является точка $B (4; -1)$. Найдите коэффициент гомотетии.

Гомотетия (или дилатация) с центром в начале координат $O(0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $A(x; y)$ в точку $B(x'; y')$ по следующим формулам:

$x' = k \cdot x$

$y' = k \cdot y$

В условии задачи дано, что точка $A(8; -2)$ является прообразом, а точка $B(4; -1)$ — ее образом. Таким образом, мы имеем:

$x = 8$, $y = -2$

$x' = 4$, $y' = -1$

Чтобы найти коэффициент гомотетии $k$, подставим значения координат в формулы.

Для координаты $x$:

$4 = k \cdot 8$

Отсюда выразим $k$:

$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Сделаем проверку, используя координаты $y$:

$-1 = k \cdot (-2)$

$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Так как значения коэффициента, вычисленные для обеих координат, совпали, мы нашли верное значение.

Ответ: $\frac{1}{2}$

911. Стороны двух правильных треугольников равны 8 см и 28 см. Чему равно отношение их площадей?

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобных фигур. Все правильные (равносторонние) треугольники подобны друг другу. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон.

Пусть стороны двух правильных треугольников равны $a_1$ и $a_2$. По условию, $a_1 = 8$ см и $a_2 = 28$ см.

Найдем отношение их сторон (коэффициент подобия $k$):

$k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{8}{28}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 8 и 28 равен 4:

$k = \frac{8 \div 4}{28 \div 4} = \frac{2}{7}$

Теперь, зная коэффициент подобия, найдем отношение их площадей $S_1$ и $S_2$. Оно равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{2}{7})^2 = \frac{2^2}{7^2} = \frac{4}{49}$

Следовательно, площади треугольников относятся как 4 к 49.

Ответ: $\frac{4}{49}$