Номер 905, страница 224 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

905. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 11$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-3; 3)$.

Исходное уравнение окружности имеет вид $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 11$.

Стандартное уравнение окружности — это $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где точка $(a, b)$ является центром окружности, а $R$ — ее радиусом. Из исходного уравнения находим, что центр данной окружности — это точка $C$ с координатами $(-4, 5)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 11$.

При симметрии окружности относительно некоторой точки, ее радиус сохраняется, а центр окружности отображается в новую точку, симметричную исходному центру относительно той же точки. Если точка $C'(a', b')$ симметрична точке $C(a, b)$ относительно точки $S(x_s, y_s)$, то $S$ является серединой отрезка $CC'$. Координаты нового центра $C'(a', b')$ можно найти по формулам: $a' = 2x_s - a$ $b' = 2y_s - b$

1) начала координат;

Точкой симметрии является начало координат, точка $O(0, 0)$. Найдем координаты нового центра $C'(a', b')$, который симметричен центру $C(-4, 5)$ относительно точки $O(0, 0)$.

$a' = 2 \cdot 0 - (-4) = 0 + 4 = 4$
$b' = 2 \cdot 0 - 5 = 0 - 5 = -5$

Следовательно, новый центр окружности — это точка $C'(4, -5)$. Радиус остается неизменным, $R^2 = 11$. Подставляем новые координаты центра в стандартное уравнение окружности:
$(x - 4)^2 + (y - (-5))^2 = 11$
$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 11$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 11$.

2) точки 𝑀 (−3; 3).

Точкой симметрии является точка $M(-3, 3)$. Найдем координаты нового центра $C'(a', b')$, который симметричен центру $C(-4, 5)$ относительно точки $M(-3, 3)$.

$a' = 2 \cdot (-3) - (-4) = -6 + 4 = -2$
$b' = 2 \cdot 3 - 5 = 6 - 5 = 1$

Следовательно, новый центр окружности — это точка $C'(-2, 1)$. Радиус остается неизменным, $R^2 = 11$. Подставляем новые координаты центра в стандартное уравнение окружности:
$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 11$
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 11$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 11$.