Номер 912, страница 225 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

912. Многоугольник $F_1$ подобен многоугольнику $F_2$ с коэффициентом подобия $k$. Буквами $P_1$, $P_2$, $S_1$, $S_2$ обозначили соответственно их периметры и площади. Заполните пустые ячейки таблицы.

$P_1$ $P_2$ $S_1$ $S_2$ $k$

19 64 16

12 36 7

35 4 100

21 36 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобных многоугольников. Если многоугольник $F_1$ подобен многоугольнику $F_2$ с коэффициентом подобия $k$, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Это выражается следующими формулами:

$ \frac{P_2}{P_1} = k $

$ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $

Заполним пустые ячейки таблицы, решая задачу для каждой строки.

Строка 1

Дано: $P_2 = 19$, $S_1 = 64$, $S_2 = 16$. Необходимо найти $P_1$ и $k$.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения площадей. Используем формулу $ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $. Подставим известные значения: $ k^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} $. Поскольку коэффициент подобия $k$ — это отношение длин, он должен быть положительным, поэтому извлекаем квадратный корень: $ k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5 $.

Теперь, зная $k$, найдем периметр $P_1$ из отношения периметров. Используем формулу $ \frac{P_2}{P_1} = k $, откуда выразим $P_1$: $ P_1 = \frac{P_2}{k} $. Подставим значения: $ P_1 = \frac{19}{1/2} = 19 \cdot 2 = 38 $.

Ответ: $P_1 = 38$, $k = 0.5$.

Строка 2

Дано: $P_1 = 12$, $P_2 = 36$, $S_1 = 7$. Необходимо найти $S_2$ и $k$.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения периметров. Используем формулу $ k = \frac{P_2}{P_1} $. Подставим известные значения: $ k = \frac{36}{12} = 3 $.

Теперь, зная $k$, найдем площадь $S_2$ из отношения площадей. Используем формулу $ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $, откуда выразим $S_2$: $ S_2 = S_1 \cdot k^2 $. Подставим значения: $ S_2 = 7 \cdot 3^2 = 7 \cdot 9 = 63 $.

Ответ: $S_2 = 63$, $k = 3$.

Строка 3

Дано: $P_2 = 35$, $S_1 = 4$, $S_2 = 100$. Необходимо найти $P_1$ и $k$.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$ из отношения площадей: $ k^2 = \frac{S_2}{S_1} = \frac{100}{4} = 25 $. Извлекая положительный квадратный корень, получаем $ k = \sqrt{25} = 5 $.

Теперь найдем периметр $P_1$ из отношения периметров: $ P_1 = \frac{P_2}{k} $. Подставляем значения: $ P_1 = \frac{35}{5} = 7 $.

Ответ: $P_1 = 7$, $k = 5$.

Строка 4

Дано: $P_2 = 21$, $S_1 = 36$, $k = 2$. Необходимо найти $P_1$ и $S_2$.

Найдем периметр $P_1$ из отношения периметров, зная $k$: $ P_1 = \frac{P_2}{k} $. Подставляем значения: $ P_1 = \frac{21}{2} = 10.5 $.

Теперь найдем площадь $S_2$ из отношения площадей: $ S_2 = S_1 \cdot k^2 $. Подставляем значения: $ S_2 = 36 \cdot 2^2 = 36 \cdot 4 = 144 $.

Ответ: $P_1 = 10.5$, $S_2 = 144$.